设随机变量X的概率密度函数是 f(x)= (1)/(sqrt(pi)) e^-x^2 + 4x - 4，则有()。A. X sim N(2,1)B. X sim N(4,1/4)C. X sim N(0,1)D. X sim N(2,1/2)

考查要点：本题主要考查正态分布的概率密度函数形式，以及通过配方法将给定指数函数转换为标准正态分布形式的能力。

解题核心思路：

1. 识别指数部分的完全平方：将题目中的指数项 $-x^2 + 4x -4$ 配方，转化为 $-(x-\mu)^2$ 的形式，从而确定正态分布的均值 $\mu$。
2. 比较系数与方差：将题目中的系数 $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ 与正态分布的标准系数 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$ 对比，结合指数部分的系数确定方差 $\sigma^2$。

破题关键点：

• 配方技巧：通过配方将二次函数转化为完全平方形式，直接关联正态分布的均值参数。
• 系数匹配：通过系数对比确定方差，确保指数项和系数均符合正态分布的定义。

步骤1：配方处理指数项
题目中的指数项为 $-x^2 + 4x -4$，配方得：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x -4 &= -(x^2 - 4x + 4) \\&= -(x-2)^2.\end{aligned}$
因此，概率密度函数可改写为：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(x-2)^2}.$

步骤2：与正态分布形式对比
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$
将题目中的指数项 $-(x-2)^2$ 与正态分布的指数项 $-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ 对比，可得：
$\frac{1}{2\sigma^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sigma^2 = \frac{1}{2}.$
因此，均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = \frac{1}{2}$。

步骤3：验证系数匹配
题目中的系数为 $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，正态分布的系数为 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$。代入 $\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}$：
$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$
系数完全匹配，验证正确。