题目
若总体X sim N(0,1)，X_1, X_2, X_3为来自总体的样本，则X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 sim chi^2(___).
若总体$X \sim N(0,1)$，$X_1, X_2, X_3$为来自总体的样本，则$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2($___).
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本，即每个 $X_i$ 独立且服从标准正态分布。根据卡方分布的定义，若 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$ 独立且服从 $N(0,1)$，则 $Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2$ 服从自由度为 $k$ 的卡方分布，记作 $\chi^2(k)$。
在本题中，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 符合上述条件，其中 $k=3$。
因此，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为 3 的卡方分布，即 $\chi^2(3)$。
答案：$\boxed{3}$
解析
本题考查卡方分布的定义。解题思路是依据卡方分布的定义，判断给定的随机变量组合是否符合卡方分布的形式，进而确定其自由度。
- 已知总体$X \sim N(0,1)$，$X_1, X_2, X_3$为来自总体的样本，这意味着$X_1, X_2, X_3$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$。
- 根据卡方分布的定义：若$Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，那么$Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2$服从自由度为$k$的卡方分布，记为$\chi^2(k)$。
- 在本题中，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$符合卡方分布的形式，这里$k = 3$，即有$3$个相互独立的标准正态分布随机变量的平方和。