题目
根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
题目解答
答案
正确答案:根据独立同分布中心极限定理,假设X表示电器元件的寿命,则X的概率密度为随机取出16只元件,其寿命分别用X1,X2,…,X16表示,且它们相互独立,同服从均值为100的指数分布,则16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为Y=,其中E(Xi)=100,D(Xi)=1002,由此得E(Y)==16×100=1600,D(Y)==16×1002,由独立同分布中心极限定理可知,Y近似服从正态分布N(1600,16×1002),于是涉及知识点:概率论与数理统计
解析
步骤 1：确定单个元件寿命的概率分布
根据题目，单个元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。指数分布的概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}} \]
其中，\(\mu = 100\)小时。因此，单个元件寿命的概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{100} e^{-\frac{x}{100}} \]
步骤 2：确定16个元件寿命总和的分布
由于16个元件的寿命是相互独立的，且每个元件的寿命都服从均值为100小时的指数分布，根据独立同分布中心极限定理，16个元件寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为Y，则Y的期望值和方差分别为：
\[ E(Y) = 16 \times 100 = 1600 \]
\[ D(Y) = 16 \times 100^2 = 160000 \]
因此，Y近似服从正态分布N(1600, 160000)。
步骤 3：计算寿命总和大于1920小时的概率
我们需要计算P(Y > 1920)。首先，将Y标准化为标准正态分布：
\[ Z = \frac{Y - E(Y)}{\sqrt{D(Y)}} = \frac{Y - 1600}{\sqrt{160000}} = \frac{Y - 1600}{400} \]
因此，P(Y > 1920)可以转化为P(Z > \(\frac{1920 - 1600}{400}\))：
\[ P(Y > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8) \]
查标准正态分布表，可以得到P(Z > 0.8)的值。标准正态分布表中，P(Z < 0.8) = 0.7881，因此：
\[ P(Z > 0.8) = 1 - P(Z < 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119 \]
根据题目，单个元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。指数分布的概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}} \]
其中，\(\mu = 100\)小时。因此，单个元件寿命的概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{100} e^{-\frac{x}{100}} \]
步骤 2：确定16个元件寿命总和的分布
由于16个元件的寿命是相互独立的，且每个元件的寿命都服从均值为100小时的指数分布，根据独立同分布中心极限定理，16个元件寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为Y，则Y的期望值和方差分别为：
\[ E(Y) = 16 \times 100 = 1600 \]
\[ D(Y) = 16 \times 100^2 = 160000 \]
因此，Y近似服从正态分布N(1600, 160000)。
步骤 3：计算寿命总和大于1920小时的概率
我们需要计算P(Y > 1920)。首先，将Y标准化为标准正态分布：
\[ Z = \frac{Y - E(Y)}{\sqrt{D(Y)}} = \frac{Y - 1600}{\sqrt{160000}} = \frac{Y - 1600}{400} \]
因此，P(Y > 1920)可以转化为P(Z > \(\frac{1920 - 1600}{400}\))：
\[ P(Y > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8) \]
查标准正态分布表，可以得到P(Z > 0.8)的值。标准正态分布表中，P(Z < 0.8) = 0.7881，因此：
\[ P(Z > 0.8) = 1 - P(Z < 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119 \]