设X~B(1, p),X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本,试求参数p的最大似然估计量.

本题考察二项分布参数$p$的最大似然估计量求解，核心思路是：先写出似然函数，再取对数转化为对数似然函数，对$p$求导并令导数为0，解出$p$的估计值，进而得到估计量。

步骤1：写出总体分布与样本的概率密度

总体$X\sim B(1,p)$，即$X$服从参数为$1$（试验次数）和$p$（成功概率）的二项分布，其概率质量函数为：
$P(X=x)=\begin{cases}p^x(1-p)^{1-x} & (x=0或1)\\0 & (其他)\end{cases}$

步骤2：构造似然函数

设$X_1,X_2,\dots,X_n$是样本，$x_1,x_2,\dots,x_n$是样本观测值，则似然函数为：
$L(p)=\prod_{i=1}^n P(X_i=x_i)=\prod_{i=1}^n [p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}]=p^{\sum_{i=1}^n x_i}(1-p)^{n-\sum_{i=1}^n x_i}$

步骤3：取对数得对数似然函数

对$L(p)$取自然对数，简化计算：
$\ln L(p)=\ln\left[p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}\right]=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\ln p+\left(n-\sum_{i=1}^n x_i\right)\ln(1-p)$

步骤4：对$p$求导并令导数为0

对$\ln L(p)$关于$p$求导：
$\frac{d\ln L(p)}{dp}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{p}-\frac{n-\sum_{i=1}^n x_i}{1-p}$
令导数等于0：
$\frac{\sum x_i}{p}-\frac{n-\sum x_i}{1-p}=0$

步骤5：解方程得$p$的最大似然估计值

交叉相乘化简：
$\sum x_i (1-p)=p(n-\sum x_i)$
$\sum x_i -p\sum x_i=np -p\sum x_i$
$\sum x_i=np$
解得：
$\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\bar{x}$

步骤6：得到最大似然估计量

将样本均值$\bar{x}$替换为样本均值$\bar{X}$（随机变量形式），即$p$的最大似然估计量为$\hat{p}=\bar{X}$。