题目
v-|||-题图12.19-|||-12.23如题12.19所示,有一无限大平面导体薄板,自下而上均匀通有电流,已知其-|||-面电流密度为i(即单位宽度上通有的电流强度).-|||-(1)试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向;-|||-(2)有一质量为m,带正电荷q的粒子,以速度v沿平板法线方向向外运动,求:-|||-(a)带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞?-|||-(b)需经多长时间,才能回到初始位置(不计粒子重力)?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算板外空间任一点的磁感强度
根据安培环路定理，对于无限大平面导体薄板，其外空间任一点的磁感强度大小为 $\dfrac{\mu_0 i}{2}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$i$ 是面电流密度。方向根据右手定则，板右侧垂直纸面向里。
步骤 2：计算带电粒子不与大平板碰撞的最小距离
带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，其运动轨迹为圆周运动。为了不与大平板碰撞，粒子的运动半径应等于粒子的初始位置到平板的距离。根据洛伦兹力公式 $F = qvB$ 和圆周运动公式 $F = \dfrac{mv^2}{r}$，可以得到粒子的运动半径 $r = \dfrac{mv}{qB}$。将 $B = \dfrac{\mu_0 i}{2}$ 代入，得到 $r = \dfrac{mv}{q\mu_0 i/2} = \dfrac{2mv}{q\mu_0 i}$。
步骤 3：计算粒子回到初始位置所需的时间
粒子在磁场中做圆周运动，其周期为 $T = \dfrac{2\pi r}{v}$。将 $r = \dfrac{2mv}{q\mu_0 i}$ 代入，得到 $T = \dfrac{2\pi \cdot 2mv}{q\mu_0 i \cdot v} = \dfrac{4\pi m}{q\mu_0 i}$。由于粒子需要回到初始位置，所以所需时间为半个周期，即 $t = \dfrac{T}{2} = \dfrac{2\pi m}{q\mu_0 i}$。
根据安培环路定理，对于无限大平面导体薄板，其外空间任一点的磁感强度大小为 $\dfrac{\mu_0 i}{2}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$i$ 是面电流密度。方向根据右手定则，板右侧垂直纸面向里。
步骤 2：计算带电粒子不与大平板碰撞的最小距离
带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，其运动轨迹为圆周运动。为了不与大平板碰撞，粒子的运动半径应等于粒子的初始位置到平板的距离。根据洛伦兹力公式 $F = qvB$ 和圆周运动公式 $F = \dfrac{mv^2}{r}$，可以得到粒子的运动半径 $r = \dfrac{mv}{qB}$。将 $B = \dfrac{\mu_0 i}{2}$ 代入，得到 $r = \dfrac{mv}{q\mu_0 i/2} = \dfrac{2mv}{q\mu_0 i}$。
步骤 3：计算粒子回到初始位置所需的时间
粒子在磁场中做圆周运动，其周期为 $T = \dfrac{2\pi r}{v}$。将 $r = \dfrac{2mv}{q\mu_0 i}$ 代入，得到 $T = \dfrac{2\pi \cdot 2mv}{q\mu_0 i \cdot v} = \dfrac{4\pi m}{q\mu_0 i}$。由于粒子需要回到初始位置，所以所需时间为半个周期，即 $t = \dfrac{T}{2} = \dfrac{2\pi m}{q\mu_0 i}$。