题目

11.设x_(1),x_(2),...,x_(n)是来自N(mu_(1),sigma^2)的样本，y_(1),y_(2),...,y_(m)是来自N(mu_(2),sigma^2)的样本，c,d是任意两个不为0的常数，证明：t=(c(overline(x)-mu_(1))+d(overline(y)-mu_(2)))/(s_(w)sqrt((c^2))/(n)+(d^{2)/(m))}sim t(n+m-2),其中s_(w)^2=((n-1)s_(x)^2+(m-1)s_(y)^2)/(n+m-2).

11.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是来自$N(\mu_{1},\sigma^{2})$的样本，$y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$是来自$N(\mu_{2},\sigma^{2})$的样本，c,d是任意两个不为0的常数，证明： $t=\frac{c(\overline{x}-\mu_{1})+d(\overline{y}-\mu_{2})}{s_{w}\sqrt{\frac{c^{2}}{n}+\frac{d^{2}}{m}}}\sim t(n+m-2)$, 其中$s_{w}^{2}=\frac{(n-1)s_{x}^{2}+(m-1)s_{y}^{2}}{n+m-2}$.

题目解答

答案

1. **分子分布**： $ c(\overline{x} - \mu_1) \sim N\left(0, \frac{c^2\sigma^2}{n}\right) $， $ d(\overline{y} - \mu_2) \sim N\left(0, \frac{d^2\sigma^2}{m}\right) $， 故 $ c(\overline{x} - \mu_1) + d(\overline{y} - \mu_2) \sim N\left(0, \sigma^2\left(\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}\right)\right) $。 标准化后得 $ \frac{c(\overline{x} - \mu_1) + d(\overline{y} - \mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}}} \sim N(0, 1) $。 2. **分母分布**： $ \frac{(n-1)s_x^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) $， $ \frac{(m-1)s_y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(m-1) $， 故 $ \frac{(n+m-2)s_w^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n+m-2) $， 即 $ \frac{s_w}{\sigma} \sim \sqrt{\frac{\chi^2(n+m-2)}{n+m-2}} $。 3. **组合成 t 分布**： $ t = \frac{\frac{c(\overline{x} - \mu_1) + d(\overline{y} - \mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}}}}{\frac{s_w}{\sigma}} \sim t(n+m-2) $。 **答案**： \[ \boxed{t = \frac{c(\overline{x} - \mu_1) + d(\overline{y} - \mu_2)}{s_w \sqrt{\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}}} \sim t(n + m - 2)} \]

解析

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件，涉及正态变量的线性组合、卡方分布的性质以及独立性的应用。

解题核心思路：

  1. 分子部分：证明标准化后的分子服从标准正态分布。
  2. 分母部分：证明分母服从合并方差的卡方分布形式。
  3. 组合关系：验证分子与分母独立，从而组合成t分布。

破题关键点：

  • 独立性：样本均值与样本方差独立，两样本独立。
  • 自由度计算：合并方差的自由度为$n+m-2$。

1. 分子分布的标准化

  • 线性组合的正态性：
    $c(\overline{x} - \mu_1) \sim N\left(0, \frac{c^2\sigma^2}{n}\right)$，
    $d(\overline{y} - \mu_2) \sim N\left(0, \frac{d^2\sigma^2}{m}\right)$。
    两者独立，和为：
    $c(\overline{x} - \mu_1) + d(\overline{y} - \mu_2) \sim N\left(0, \sigma^2\left(\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}\right)\right).$

  • 标准化：
    $\frac{c(\overline{x} - \mu_1) + d(\overline{y} - \mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{c^2}{n} + \frac{d^2}{m}}} \sim N(0, 1).$

2. 分母分布的构造

  • 合并方差的卡方分布：
    $\frac{(n-1)s_x^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，
    $\frac{(m-1)s_y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(m-1)$。
    两者独立，和为：
    $\frac{(n+m-2)s_w^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n+m-2).$

  • 分母形式：
    $\frac{s_w}{\sigma} \sim \sqrt{\frac{\chi^2(n+m-2)}{n+m-2}}.$

3. 组合成t分布

  • 分子与分母独立：样本均值与样本方差独立，两样本独立。
  • t分布定义：
    $t = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(n+m-2)}{n+m-2}}} \sim t(n+m-2).$