题目
8. (10.0分)【判断题】若随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,3²), Y~N(0,2²)，则Z=X+Y服从于N(1,5²)。A 对B 错
8. (10.0分)【判断题】若随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,3²), Y~N(0,2²)，则Z=X+Y服从于N(1,5²)。
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断随机变量 $ Z = X + Y $ 是否服从于 $ N(1, 5^2) $，我们需要使用独立正态随机变量之和的性质。具体来说，如果 $ X $ 和 $ Y $ 是独立的正态随机变量，且 $ X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2) $ 和 $ Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2) $，那么它们的和 $ Z = X + Y $ 也服从正态分布，其均值为 $ \mu_Z = \mu_X + \mu_Y $ 和方差为 $ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 $。
已知：
- $ X \sim N(1, 3^2) $，所以 $ \mu_X = 1 $ 和 $ \sigma_X^2 = 9 $。
- $ Y \sim N(0, 2^2) $，所以 $ \mu_Y = 0 $ 和 $ \sigma_Y^2 = 4 $。
我们可以计算 $ Z = X + Y $ 的均值和方差如下：
- $ Z $ 的均值是 $ \mu_Z = \mu_X + \mu_Y = 1 + 0 = 1 $。
- $ Z $ 的方差是 $ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 4 = 13 $。
因此，$ Z $ 服从正态分布 $ N(1, 13) $。由于 $ 13 \neq 5^2 = 25 $，随机变量 $ Z $ 不服从于 $ N(1, 5^2) $。
正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的分布参数
给定随机变量X和Y的分布参数，X~N(1,3²)和Y~N(0,2²)，即X的均值为1，方差为9；Y的均值为0，方差为4。
步骤 2：计算Z=X+Y的均值和方差
由于X和Y相互独立，根据正态分布的性质，Z=X+Y的均值为X和Y的均值之和，即μ_Z = μ_X + μ_Y = 1 + 0 = 1；Z的方差为X和Y的方差之和，即σ_Z² = σ_X² + σ_Y² = 9 + 4 = 13。
步骤 3：判断Z的分布
根据步骤2的计算结果，Z服从于N(1,13)，而不是N(1,5²)。因为13不等于25，所以Z不服从于N(1,5²)。
给定随机变量X和Y的分布参数，X~N(1,3²)和Y~N(0,2²)，即X的均值为1，方差为9；Y的均值为0，方差为4。
步骤 2：计算Z=X+Y的均值和方差
由于X和Y相互独立，根据正态分布的性质，Z=X+Y的均值为X和Y的均值之和，即μ_Z = μ_X + μ_Y = 1 + 0 = 1；Z的方差为X和Y的方差之和，即σ_Z² = σ_X² + σ_Y² = 9 + 4 = 13。
步骤 3：判断Z的分布
根据步骤2的计算结果，Z服从于N(1,13)，而不是N(1,5²)。因为13不等于25，所以Z不服从于N(1,5²)。