题目
若X ~ N(3, 4) ,Y ~ N(4, 9),且X,Y相互独立,则X + Y ~_______。
若X ~ N(3, 4) ,Y ~ N(4, 9),且X,Y相互独立,则X + Y ~_______。
题目解答
答案
根据正态分布的性质，如果两个随机变量 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 X ~ N(μ₁, σ₁²) 和 Y ~ N(μ₂, σ₂²)，那么它们的和 X + Y 也服从正态分布，均值为 μ₁ + μ₂，方差为 σ₁² + σ₂²。
在这个问题中，我们有：
X ~ N(3, 4)，即 μ₁ = 3，σ₁² = 4
Y ~ N(4, 9)，即 μ₂ = 4，σ₂² = 9
因此，X + Y 的分布为：
X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)
X + Y ~ N(3 + 4, 4 + 9)
X + Y ~ N(7, 13)
所以，X + Y ~ N(7, 13)。
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的性质，特别是两个独立正态随机变量之和的分布规律。
解题核心思路：
当两个正态分布的随机变量相互独立时，它们的和仍服从正态分布，且均值为各自均值之和，方差为各自方差之和。因此，只需将题目中给出的均值和方差分别相加即可得到结果。
破题关键点：
- 明确正态分布的参数形式（均值$\mu$，方差$\sigma^2$）。
- 确认题目中“独立”的条件，确保可以直接应用正态分布的可加性。
- 正确区分方差与标准差，避免混淆。
已知$X \sim N(3, 4)$，$Y \sim N(4, 9)$，且$X$与$Y$独立。根据正态分布的性质：
-
均值的叠加：
$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 3 + 4 = 7$ -
方差的叠加：
$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 4 + 9 = 13$
因此，$X + Y$服从均值为$7$，方差为$13$的正态分布，即：
$X + Y \sim N(7, 13)$