题目

设数列 x_n 满足 lim_(k to infty) x_(2k) = lim_(k to infty) x_(2k+1) = a，证明 lim_(n to infty) x_n = a.

设数列 $\{x_n\}$ 满足 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = \lim_{k \to \infty} x_{2k+1} = a$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.

题目解答

答案

我们来证明如下命题：

题目：
设数列 $\{x_n\}$ 满足
$\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a \quad \text{且} \quad \lim_{k \to \infty} x_{2k+1} = a，$
证明：
$\lim_{n \to \infty} x_n = a。$

解题思路：

要证明整个数列 $\{x_n\}$ 的极限是 $a$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。

已知：

  • 偶数项子列 $\{x_{2k}\}$ 收敛于 $a$；
  • 奇数项子列 $\{x_{2k+1}\}$ 也收敛于 $a$。

而整个数列 $\{x_n\}$ 的每一项要么是偶数项（形如 $x_{2k}$），要么是奇数项（形如 $x_{2k+1}$），也就是说，数列被分成了两个子列，分别覆盖了所有偶数下标和奇数下标。

因此，只要这两个子列都趋于 $a$，那么整个数列也应该趋于 $a$。

详细证明过程：

我们根据极限的定义来严格证明。

设 $\varepsilon > 0$ 是任意给定的正数。

第一步：利用偶数项子列的极限。
因为 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$，
所以存在正整数 $K_1$，使得当 $k > K_1$ 时，有
$|x_{2k} - a| < \varepsilon。$

第二步：利用奇数项子列的极限。
因为 $\lim_{k \to \infty} x_{2k+1} = a$，
所以存在正整数 $K_2$，使得当 $k > K_2$ 时，有
$|x_{2k+1} - a| < \varepsilon。$

第三步：取一个统一的 $N$。
令 $K = \max\{K_1, K_2\}$，
再令 $N = 2K + 1$。这个 $N$ 足够大，能覆盖所有下标大于 $N$ 的项。

现在我们任取 $n > N$，我们要证明 $|x_n - a| < \varepsilon$。

由于 $n$ 是正整数，它要么是偶数，要么是奇数。

  • 情况一： $n$ 是偶数，即 $n = 2k$。
    因为 $n = 2k > N = 2K + 1$，所以
    $2k > 2K + 1 \Rightarrow k > K + \frac{1}{2} \Rightarrow k \ge K + 1 > K \ge K_1。$
    所以 $k > K_1$，由第一步知：
    $|x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon。$

  • 情况二： $n$ 是奇数，即 $n = 2k + 1$。
    因为 $n = 2k + 1 > N = 2K + 1$，所以
    $2k + 1 > 2K + 1 \Rightarrow 2k > 2K \Rightarrow k > K \ge K_2。$
    所以 $k > K_2$，由第二步知：
    $|x_n - a| = |x_{2k+1} - a| < \varepsilon。$

综上，无论 $n > N$ 是奇数还是偶数，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。

结论：

根据极限的定义，我们证明了：
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \varepsilon$。
因此，
$\lim_{n \to \infty} x_n = a。$

最终答案：

$\boxed{\lim_{n \to \infty} x_n = a}$

解析

本题考查数列极限的定义以及利用子列极限证明原数列极限。解题的关键思路是依据数列极限的定义，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，分别找到偶数项子列和奇数项子列满足 $|x_n - a| < \varepsilon$ 时对应的项数，然后取一个统一的 $N$，使得当 $n > N$ 时，整个数列的项都满足 $|x_n - a| < \varepsilon$。

下面进行详细的证明过程：
设 $\varepsilon > 0$ 是任意给定的正数。

  1. 利用偶数项子列的极限：
    因为 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$，根据数列极限的定义，对于给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $K_1$，使得当 $k > K_1$ 时，有 $|x_{2k} - a| < \varepsilon$。
  2. 利用奇数项子列的极限：
    因为 $\lim_{k \to \infty} x_{2k + 1} = a$，同样根据数列极限的定义，对于给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $K_2$，使得当 $k > K_2$ 时，有 $|x_{2k + 1} - a| < \varepsilon$。
  3. 取一个统一的 $N$：
    令 $K = \max\{K_1, K_2\}$，再令 $N = 2K + 1$。现在任取 $n > N$，分两种情况讨论：
    • 情况一：$n$ 是偶数，即 $n = 2k$
      因为 $n = 2k > N = 2K + 1$，则 $2k > 2K + 1$，移项可得 $2k - 2K > 1$，即 $2(k - K) > 1$，所以 $k - K > \frac{1}{2}$，进而得到 $k > K + \frac{1}{2}$。由于 $k$ 是正整数，所以 $k \ge K + 1 > K \ge K_1$。因为 $k > K_1$，由第一步可知 $|x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon$。
    • 情况二：$n$ 是奇数，即 $n = 2k + 1$
      因为 $n = 2k + 1 > N = 2K + 1$，两边同时减去 $1$ 可得 $2k > 2K$，两边同时除以 $2$ 得到 $k > K$。又因为 $K \ge K_2$，所以 $k > K_2$。由第二步可知 $|x_n - a| = |x_{2k + 1} - a| < \varepsilon$。

综上，无论 $n > N$ 是奇数还是偶数，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。根据数列极限的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \varepsilon$，所以 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。