题目
(2)试证明均匀分布-|||-f(x)= { , 0lt xleqslant theta , 0, .-|||-中未知参数θ的最大似然估计量不是无偏的.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义似然函数
似然函数是基于样本数据，对未知参数θ的函数。对于给定的样本数据${X_1, X_2, ..., X_n}$，似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$$
其中$f(X_i; \theta)$是给定参数θ时，随机变量$X_i$的概率密度函数。
步骤 2：求最大似然估计量
对于均匀分布$f(x) = \frac{1}{\theta}$，当$0 < x \leq \theta$时，似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} = \frac{1}{\theta^n}$$
由于$\theta$必须大于所有样本值，即$\theta \geq X_{(n)}$，其中$X_{(n)}$是样本中的最大值。因此，似然函数$L(\theta)$在$\theta = X_{(n)}$时达到最大值，所以最大似然估计量为$\hat{\theta} = X_{(n)}$。
步骤 3：计算最大似然估计量的期望值
为了证明最大似然估计量不是无偏的，我们需要计算$\hat{\theta}$的期望值$E(\hat{\theta})$。对于均匀分布，$X_{(n)}$的期望值为：
$$E(X_{(n)}) = \int_{0}^{\theta} x \cdot n \left(\frac{x}{\theta}\right)^{n-1} \frac{1}{\theta} dx = \frac{n}{n+1} \theta$$
因此，$E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1} \theta$。
步骤 4：判断无偏性
如果一个估计量是无偏的，那么它的期望值应该等于真实参数值。由于$E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1} \theta \neq \theta$，所以最大似然估计量$\hat{\theta}$不是无偏的。
似然函数是基于样本数据，对未知参数θ的函数。对于给定的样本数据${X_1, X_2, ..., X_n}$，似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$$
其中$f(X_i; \theta)$是给定参数θ时，随机变量$X_i$的概率密度函数。
步骤 2：求最大似然估计量
对于均匀分布$f(x) = \frac{1}{\theta}$，当$0 < x \leq \theta$时，似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} = \frac{1}{\theta^n}$$
由于$\theta$必须大于所有样本值，即$\theta \geq X_{(n)}$，其中$X_{(n)}$是样本中的最大值。因此，似然函数$L(\theta)$在$\theta = X_{(n)}$时达到最大值，所以最大似然估计量为$\hat{\theta} = X_{(n)}$。
步骤 3：计算最大似然估计量的期望值
为了证明最大似然估计量不是无偏的，我们需要计算$\hat{\theta}$的期望值$E(\hat{\theta})$。对于均匀分布，$X_{(n)}$的期望值为：
$$E(X_{(n)}) = \int_{0}^{\theta} x \cdot n \left(\frac{x}{\theta}\right)^{n-1} \frac{1}{\theta} dx = \frac{n}{n+1} \theta$$
因此，$E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1} \theta$。
步骤 4：判断无偏性
如果一个估计量是无偏的，那么它的期望值应该等于真实参数值。由于$E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1} \theta \neq \theta$，所以最大似然估计量$\hat{\theta}$不是无偏的。