总体 X 与 Y 相互独立，且 X sim N(mu_1, sigma^2)，Y sim N(mu_2, sigma^2)，(X_1, X_2, ..., X_n) 与 (Y_1, Y_2, ..., Y_n) 是分别从两总体中抽取的样本，S_1^2 与 S_2^2 是相应的样本方差，则 ((n-1)(S_1^2 + S_2^2))/(sigma^2) 服从(）。A. N(0, 1)B. N(mu, (sigma^2)/(2n))C. t(2n)D. chi^2(2n-2)

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，以及卡方分布的可加性。

解题核心思路：

1. 识别样本方差的分布：对于正态总体，样本方差的特定组合服从卡方分布。
2. 独立性与可加性：利用独立卡方变量之和的自由度相加性质，确定最终分布。

破题关键点：

• 卡方分布形式：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
• 独立性保证可加性：X与Y独立，故对应的卡方统计量独立，可相加。

步骤1：确定单个样本方差的分布

对于总体$X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，样本方差$S_1^2$满足：
$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
同理，总体$Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$的样本方差$S_2^2$满足：
$\frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

步骤2：利用卡方分布的可加性

由于$X$与$Y$独立，对应的统计量$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2}$与$\frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2}$也独立。根据卡方分布的可加性：
$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} + \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)(S_1^2 + S_2^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2(2n-2)$