题目

设总体X服从指数分布(x;lambda )= ) lambda (e)^-lambda x xgeqslant 0 0 xlt 0 .，则X的极大似然估计值为（）A、0.8B、2.5C、0.4D、5

设总体X服从指数分布

$f\left(x;\lambda\right)=\left\{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq0\\0&x<0\end{matrix}\right.,$

现从总体中抽取一样本， $x_1,x_2, \dots ,x_n$

为样本观察值，计算得 $\overline{x}=2.5$ ，则X的极大似然估计值为（）

A、0.8

B、2.5

C、0.4

D、5

题目解答

假设从总体中抽取了样本 $x_1,x_2,\dots,x_n$ ，样本均值为 $\overline{x}$

样本的联合概率密度函数（似然函数）为： $L(\lambda)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\lambda)=\prod_{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i}$

取对数得到对数似然函数 $\ln L(\lambda)=\sum_{i=1}^n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^nx_i$

$=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^nx_i$

对 λ 求导并令其等于 0，得到：

$\frac{\partial\ln L(\lambda)}{\partial\lambda}=\frac n\lambda-\sum_{i=1}^nx_i=0$

$\lambda=\frac n{\sum_{i=1}^nx_i}$ $=\frac1{\bar{x}}$

样本均值为2.5

$\lambda=\frac1{\bar{x}}=\frac1{2.5}=0.4$

综上所述，答案为C。