题目
7.(1)设X1,X2,···,Xn是来自总体X的一个样本,且 approx pi (x), 求 X=0 -|||-的最大似然估计值.-|||-(2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松-|||-分布.求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计.使用-|||-下面122个观察值.下表中,r表示一扳道员五年中引起严重事故的次数,s表示-|||-观察到的扳道员人数.-|||-r 0 1 2 3 4 5-|||-s 44 42 21 9 4 2
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们求出泊松分布中 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值。首先，我们需要知道泊松分布的概率质量函数为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$ ，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。题目中给出的样本数据是122个扳道员五年内引起严重事故的次数，我们需要根据这些数据来估计 $\lambda$ 的值，进而求出 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值。
步骤 2：计算样本均值
根据题目给出的数据，我们可以计算出样本均值 $\overline {r}$，即 $\overline {r}=\dfrac {1}{122}(44\times 0+42\times 1+21\times 2+9\times 3+4\times 4+2\times 5)$。计算得到 $\overline {r}=\dfrac {137}{122}$。
步骤 3：求出 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值
根据泊松分布的性质，我们知道 $\lambda$ 的最大似然估计值为样本均值 $\overline {r}$。因此，$P\{ X=0\}={e}^{-\lambda }$ 的最大似然估计值为 $\hat {P}\{ X=0\}={e}^{-\overline {r}}$。将 $\overline {r}=\dfrac {137}{122}$ 代入，得到 $\hat {P}\{ X=0\}={e}^{-\dfrac {137}{122}}$。
题目要求我们求出泊松分布中 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值。首先，我们需要知道泊松分布的概率质量函数为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$ ，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。题目中给出的样本数据是122个扳道员五年内引起严重事故的次数，我们需要根据这些数据来估计 $\lambda$ 的值，进而求出 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值。
步骤 2：计算样本均值
根据题目给出的数据，我们可以计算出样本均值 $\overline {r}$，即 $\overline {r}=\dfrac {1}{122}(44\times 0+42\times 1+21\times 2+9\times 3+4\times 4+2\times 5)$。计算得到 $\overline {r}=\dfrac {137}{122}$。
步骤 3：求出 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值
根据泊松分布的性质，我们知道 $\lambda$ 的最大似然估计值为样本均值 $\overline {r}$。因此，$P\{ X=0\}={e}^{-\lambda }$ 的最大似然估计值为 $\hat {P}\{ X=0\}={e}^{-\overline {r}}$。将 $\overline {r}=\dfrac {137}{122}$ 代入，得到 $\hat {P}\{ X=0\}={e}^{-\dfrac {137}{122}}$。