2.3 为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行调查，现得到样本住户日用电量的平均值为overline(y)=9.5(千瓦时)，s^2=206。试估计该市居民日用电量的95%的置信区间。如果希望相对误差限度不超过10%，则样本量至少应为多少？

本题主要考查了在抽样调查中总体均值的置信区间估计以及样本量的计算。解题思路如下：

1. 计算该市居民日用电量的95%的置信区间

• 首先明确已知条件：总体量$N = 50000$，样本量$n = 300$，样本均值$\overline{y}=9.5$千瓦时，样本方差$s^{2}=206$。
• 对于大样本（$n$相对较大），总体均值$\mu$的置信区间公式为$\overline{y} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^{2}}{n}(1 - \frac{n}{N})}$，其中$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，在95%的置信水平下，$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，则$\alpha/2=0.025$，查标准正态分布表可得$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
• 接下来计算边际误差$E$：
  • 先计算$\frac{s^{2}}{n}(1 - \frac{n}{N})$的值，将$s^{2}=206$，$n = 300$，$N = 50000$代入可得：
    $\frac{s^{2}}{n}(1 - \frac{n}{N})=\frac{206}{300}\times(1-\frac{300}{50000})=\frac{206}{300}\times0.994\approx0.686$
  • 再计算边际误差$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^{2}}{n}(1 - \frac{n}{N})}$，将$z_{\alpha/2}=1.96$和$\frac{s^{2}}{n}(1 - \frac{n}{N})\approx0.686$代入可得：
    $E = 1.96\times\sqrt{0.686}\approx1.96\times0.828\approx1.62$
• 最后计算置信区间：
  置信下限为$\overline{y}-E = 9.5 - 1.62 = 7.88$；
  置信上限为$\overline{y}+E = 9.5 + 1.62 = 11.12$。
  所以该市居民日用电量的95%的置信区间为$(7.88, 11.12)$。

2. 计算样本量至少应为多少

• 已知相对误差限度$e\leq0.1$，在考虑总体量$N$的情况下，样本量$n$的计算公式为$n\geq\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{e^{2}\overline{y}^{2}+\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{N}}$。
• 分别计算分子分母各项的值：
  • $z_{\alpha/2}^{2}=1.96^{2}=3.8416$；
  • $s^{2}=206$；
  • $e^{2}=0.1^{2}=0.01$；
  • $\overline{y}^{2}=9.5^{2}=90.25$；
  • $\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{N}=\frac{3.8416\times206}{50000}\approx0.0158$。
• 计算分母$e^{2}\overline{y}^{2}+\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{N}$的值：
  $e^{2}\overline{y}^{2}+\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{N}=0.01\times90.25 + 0.0158=0.9025+0.0158 = 0.9183$
• 计算分子$z_{\alpha/2}^{2}s^{2}$的值：
  $z_{\alpha/2}^{2}s^{2}=3.8416\times206\approx791.37$
• 计算样本量$n$：
  $n\geq\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{e^{2}\overline{y}^{2}+\frac{z_{\alpha/2}^{2}s^{2}}{N}}=\frac{791.37}{0.9183}\approx862$