题目
10.设总体 approx N(0,1), X1,X2为来自总体X的简单随机样本,则 ({x)_(1)}^2+({x)_(2)}^2 服从的分布是 __-|||-分,20题描分15分.(本题可
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布 $N(0,1)$ 表示随机变量 $X$ 的均值为0，方差为1。$X_1$ 和 $X_2$ 是来自该总体的简单随机样本，因此它们也是独立的正态分布随机变量，即 $X_1 \sim N(0,1)$ 和 $X_2 \sim N(0,1)$。
步骤 2：平方和的分布
对于标准正态分布的随机变量，其平方服从卡方分布。具体来说，如果 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2$ 服从自由度为1的卡方分布，记作 $\chi^2(1)$。因此，$X_1^2$ 和 $X_2^2$ 分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。
步骤 3：卡方分布的可加性
卡方分布具有可加性，即如果 $Y_1$ 和 $Y_2$ 分别服从 $\chi^2(k_1)$ 和 $\chi^2(k_2)$ 分布，且 $Y_1$ 和 $Y_2$ 独立，则 $Y_1 + Y_2$ 服从 $\chi^2(k_1 + k_2)$ 分布。因此，$X_1^2 + X_2^2$ 服从 $\chi^2(1 + 1) = \chi^2(2)$ 分布。
正态分布 $N(0,1)$ 表示随机变量 $X$ 的均值为0，方差为1。$X_1$ 和 $X_2$ 是来自该总体的简单随机样本，因此它们也是独立的正态分布随机变量，即 $X_1 \sim N(0,1)$ 和 $X_2 \sim N(0,1)$。
步骤 2：平方和的分布
对于标准正态分布的随机变量，其平方服从卡方分布。具体来说，如果 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2$ 服从自由度为1的卡方分布，记作 $\chi^2(1)$。因此，$X_1^2$ 和 $X_2^2$ 分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。
步骤 3：卡方分布的可加性
卡方分布具有可加性，即如果 $Y_1$ 和 $Y_2$ 分别服从 $\chi^2(k_1)$ 和 $\chi^2(k_2)$ 分布，且 $Y_1$ 和 $Y_2$ 独立，则 $Y_1 + Y_2$ 服从 $\chi^2(k_1 + k_2)$ 分布。因此，$X_1^2 + X_2^2$ 服从 $\chi^2(1 + 1) = \chi^2(2)$ 分布。