题目

2.13 设X=(X_(1),X_(2),X_(3))^primesim N_(3)(mu,Sigma)，其中Sigma=}1&rho&0rho&1&rho0&rho&1试问：ρ取什么值时，X_(1)+X_(2)+X_(3)与X_(1)-X_(2)-X_(3)独立？

2.13 设$X=(X_{1},X_{2},X_{3})^{\prime}\sim N_{3}(\mu,\Sigma)$，其中 $\Sigma=\begin{pmatrix}1&\rho&0\\rho&1&\rho\\0&\rho&1\end{pmatrix}$ 试问：ρ取什么值时，$X_{1}+X_{2}+X_{3}$与$X_{1}-X_{2}-X_{3}$独立？

题目解答

答案

设 $Y_1 = X_1 + X_2 + X_3$，$Y_2 = X_1 - X_2 - X_3$，则 \[ \text{Cov}(Y_1, Y_2) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} \Sigma \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}. \] 计算得 \[ \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 - \rho \\ -1 \\ -1 - \rho\end{pmatrix} = -2\rho - 1. \] 令协方差为0，解得 \[ \rho = -\frac{1}{2}. \] **答案：** $\boxed{-\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查多元正态分布下随机变量独立性的条件，以及协方差矩阵的计算。

解题核心思路：
对于多元正态分布，两个线性组合变量独立的充要条件是它们的协方差为零。因此，关键步骤是计算两个线性组合的协方差，并令其等于零，解出ρ的值。

破题关键点：

  1. 协方差公式：协方差矩阵Σ与系数向量的乘积关系。
  2. 矩阵运算：正确展开Σ与系数向量的乘积，并求点积。
  3. 方程求解：将协方差表达式设为零，解出ρ。

设$Y_1 = X_1 + X_2 + X_3$，$Y_2 = X_1 - X_2 - X_3$，则$Y_1$和$Y_2$的协方差为：
$\text{Cov}(Y_1, Y_2) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} \Sigma \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}.$

计算步骤：

  1. 计算$\Sigma \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}$：

    • 第一行：$1 \cdot 1 + \rho \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 1 - \rho$
    • 第二行：$\rho \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + \rho \cdot (-1) = \rho - 1 - \rho = -1$
    • 第三行：$0 \cdot 1 + \rho \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -\rho - 1$
      结果为$\begin{pmatrix}1 - \rho \\ -1 \\ -\rho - 1\end{pmatrix}$。

  2. 计算点积：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 - \rho \\ -1 \\ -\rho - 1\end{pmatrix} = 1 \cdot (1 - \rho) + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-\rho - 1) = -2\rho - 1.$

  3. 令协方差为零：
    $-2\rho - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \rho = -\frac{1}{2}.$