题目

6.设X1,X2,···, X5是来自总体XX1,X2,···, X5N(0,1)的简单随机样本,试确定常数c,使得统计量X1,X2,···, X5服从t分布,并指出它的自由度.

6.设 $X_1,X_2,\cdots,X_5$ 是来自总体X $\sim$ N(0,1)的简单随机样本,试确定常数c,使得统计量 $Y=\frac{c\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$ 服从t分布,并指出它的自由度.

题目解答

答案

解

令 $U=X_1+X_2$ ，由正态分布的性质得，

$U\sim N(0,2)$ ， $\frac{U}{\sqrt{2}}\sim N\left(0,1\right)$

令 $V=X_3^2+X_4^2+X_5^2$ ，由卡方分布的定义得， $V\sim\chi^2(3)$ ,

因为 $X_1,X_2,\cdots,X_5$ 是来自总体X $\sim$ N(0,1)的简单随机样本，所以 $\frac{U}{\sqrt{2}}和V相互独立$ ，所以由t分布的定义得，

$\frac{\frac{U}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{V}{3}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot\frac{U}{\sqrt{V}}\sim t(3)$ ，

即 $Y=\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}\sim t\left(3\right)$ , 所以

$c=\sqrt{\frac{3}{2}}$ , 自由度为3。

解析

步骤 1：定义随机变量J
令$J={X}_{1}+{X}_{2}$，由正态分布的性质得，$J\sim N(0,2)$，$\dfrac {J}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$。
步骤 2：定义随机变量Y
令$Y={{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}$，由卡方分布的定义得，$Y\sim {x}^{2}(3)$。
步骤 3：确定c的值
因为$X_1,X_2,\cdots,X_5$是来自总体$X\sim N(0,1)$的简单随机样本，所以$\dfrac {J}{\sqrt {2}}$ 和$Y$相互独立，所以由t分布的定义得，
$\dfrac {\dfrac {J}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\dfrac {Y}{3}}}=\sqrt {\dfrac {3}{2}}\cdot \dfrac {J}{\sqrt {Y}}\sim t(3)$，
即$Y=\sqrt {\dfrac {3}{2}}\dfrac {({X}_{1}+{X}_{2})}{\sqrt {{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}}\sim t(3)$, 所以
$c=\sqrt {\dfrac {3}{2}}$，自由度为3。