9-31 图为一均匀带电球层,其电荷体密度为ρ,球层内外表面半径-|||-分别为R1、R2,求图中A点的电势。-|||-A-|||-0-|||-R R2-|||-习题 9-31 图

考查要点：本题主要考查均匀带电球层内部电势的计算，需要理解电势的叠加原理及球对称性下的电势分布特点。

解题核心思路：

1. 电势叠加原理：将带电球层视为无数同心薄球壳的叠加，每个薄壳在场点产生的电势独立计算后求和。
2. 球对称性简化：由于对称性，场点的电势仅与各薄壳到场点的距离有关，无需考虑方向。
3. 积分计算：对所有薄壳的电势贡献进行积分，注意积分变量的选取和积分区间的确定。

破题关键点：

• 明确场点位置：题目中A点位于带电球层内部（$r < R_1$），此时电场为零，但电势需叠加所有带电壳层的贡献。
• 正确表达单个薄壳的电势：每个薄壳的电势为 $\frac{k \cdot dq}{r'}$，其中 $dq = \rho \cdot 4\pi r'^2 dr'$，$r'$ 为薄壳半径。

步骤1：确定场点位置与电场性质
A点位于带电球层内部（$r < R_1$），根据高斯定理，此处电场强度为零，但电势需通过叠加所有带电壳层的贡献计算。

步骤2：分解带电球层为薄壳
将带电球层分解为半径从 $R_1$ 到 $R_2$ 的无数同心薄壳，厚度为 $dr'$，每个薄壳的电荷量为：
$dq = \rho \cdot 4\pi r'^2 dr'$

步骤3：计算单个薄壳的电势贡献
每个薄壳在场点产生的电势为：
$dV = \frac{k \cdot dq}{r'} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \cdot 4\pi r'^2 dr'}{r'} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} r' dr'$

步骤4：积分求总电势
对所有薄壳的电势贡献积分：
$V = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\rho}{\varepsilon_0} r' dr' = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{2} \left( R_2^2 - R_1^2 \right) = \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \left( R_2^2 - R_1^2 \right)$