题目
设 X 为服从参数为 n, p 的二项分布的随机变量，则当 n to infty 时，(X - np)/(sqrt(np(1-p))) 一定服从(）。A. 正态分布B. 标准正态分布C. 泊松分布D. 二项分布
设 $X$ 为服从参数为 $n, p$ 的二项分布的随机变量，则当 $n \to \infty$ 时，$\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 一定服从(）。
A. 正态分布
B. 标准正态分布
C. 泊松分布
D. 二项分布
题目解答
答案
B. 标准正态分布
解析
步骤 1：二项分布的标准化
二项分布的随机变量 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，即 $X \sim B(n, p)$。当 $n$ 趋于无穷大时，根据中心极限定理，$X$ 的标准化变量 $\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 趋于标准正态分布。这是因为二项分布可以视为 $n$ 个独立伯努利变量之和，每个变量的期望为 $p$，方差为 $p(1-p)$。标准化后，期望为0，方差为1，符合标准正态分布的特征。
步骤 2：标准正态分布的特征
标准正态分布的期望为0，方差为1。当 $n$ 趋于无穷大时，二项分布的标准化变量 $\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 的期望和方差分别趋于0和1，因此它趋于标准正态分布。
二项分布的随机变量 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，即 $X \sim B(n, p)$。当 $n$ 趋于无穷大时，根据中心极限定理，$X$ 的标准化变量 $\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 趋于标准正态分布。这是因为二项分布可以视为 $n$ 个独立伯努利变量之和，每个变量的期望为 $p$，方差为 $p(1-p)$。标准化后，期望为0，方差为1，符合标准正态分布的特征。
步骤 2：标准正态分布的特征
标准正态分布的期望为0，方差为1。当 $n$ 趋于无穷大时，二项分布的标准化变量 $\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 的期望和方差分别趋于0和1，因此它趋于标准正态分布。