题目

设 (X_1, X_2, ..., X_n) 是来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的样本,对任意的 varepsilon > 0 ，样本均值 overline(X) 所满足的切比雪夫不等式是（）A. P(|overline(X) - nmu| B. P(|overline(X) - mu| C. P(|overline(X) - mu| D. P(|overline(X) - nmu|

设 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本,对任意的 $\varepsilon > 0$ ，样本均值 $\overline{X}$ 所满足的切比雪夫不等式是（）

A. $P(|\overline{X} - n\mu| < \varepsilon)\geq \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$

B. $P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)\geq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$

C. $P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)\leq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$

D. $P(|\overline{X} - n\mu| < \varepsilon)\leq \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$

题目解答

答案

B. $P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)\geq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$

解析

考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式在样本均值上的应用，以及对样本均值的期望与方差的理解。

解题核心思路：

  1. 明确样本均值的期望与方差：样本均值 $\overline{X}$ 的期望为总体均值 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。
  2. 代入切比雪夫不等式：将样本均值的方差代入切比雪夫不等式的一般形式，注意不等式方向和概率的转换。

破题关键点：

  • 区分样本均值与原总体的参数：切比雪夫不等式中的方差应为样本均值的方差 $\frac{\sigma^2}{n}$，而非原总体方差 $\sigma^2$。
  • 符号与不等式方向：注意选项中概率的上下界关系（$\geq$ 或 $\leq$）以及绝对值表达式中的偏差项（$\mu$ 或 $n\mu$）。

切比雪夫不等式的一般形式为：
对于随机变量 $Y$，若 $E(Y) = \mu_Y$，$D(Y) = \sigma_Y^2$，则对任意 $\varepsilon > 0$，有
$P(|Y - \mu_Y| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma_Y^2}{\varepsilon^2}.$
等价地，
$P(|Y - \mu_Y| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{\sigma_Y^2}{\varepsilon^2}.$

应用到本题：

  1. 样本均值的参数：
    $\overline{X}$ 的期望为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，即
    $E(\overline{X}) = \mu, \quad D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}.$

  2. 代入切比雪夫不等式：
    将 $Y = \overline{X}$，$\mu_Y = \mu$，$\sigma_Y^2 = \frac{\sigma^2}{n}$ 代入，得
    $P(|\overline{X} - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\frac{\sigma^2}{n}}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}.$
    等价地，
    $P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}.$

  3. 选项匹配：

    • 选项 B 的形式完全符合上述推导结果。
    • 错误选项分析：
      • A、D 中的 $\overline{X} - n\mu$ 错误，样本均值的期望是 $\mu$，而非 $n\mu$。
      • C 的不等式方向错误，应为 $\geq$。