6、求曲线y=((x+1)^2)/(x^2)-1的水平和垂直渐近线.

本题考查曲线渐近线的求解，解题思路是先对函数进行化简，再分别根据垂直渐近线和水平渐近线的定义来求解。

1. 化简函数：
   已知函数$y = \frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$，则函数可化简为$y = \frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x + 1}{x - 1}$（$x\neq -1$）。
2. 求垂直渐近线：
   垂直渐近线的定义为：若$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$或$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$，则$x = x_0$为曲线$y = f(x)$的垂直渐近线。
   对于函数$y = \frac{x + 1}{x - 1}$，当$x \to 1$时，分母$x - 1 \to 0$，此时$\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{x - 1}=+\infty$，$\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{x + 1}{x - 1}=-\infty$，函数值趋于无穷大，所以垂直渐近线为$x = 1$。
   当$x = -1$时，原函数$y = \frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$的分子分母都为$0$，但化简后$y = \frac{x + 1}{x - 1}$在$x = -1$处有定义，$x = -1$为可去间断点，不是垂直渐近线。
3. 求水平渐近线：
   水平渐近线的定义为：若$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$或$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$（$A$为常数），则$y = A$为曲线$y = f(x)$的水平渐近线。
   对于函数$y = \frac{x + 1}{x - 1}$，求$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1}$，分子分母同时除以$x$，可得：
   $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$
   当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，则$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}=\frac{1 + 0}{1 - 0}= 1$，所以水平渐近线为$y = 1$。