题目
设随机变量sim N(mu ,dfrac (9)(n))若已知 sim N(mu ,dfrac (9)(n)),sim N(mu ,dfrac (9)(n))0.95" data-width="179" data-height="24" data-size="2022" data-format="png" style="max-width:100%">, 则 sim N(mu ,dfrac (9)(n)) 最小等于多少( )(数据sim N(mu ,dfrac (9)(n)))A. sim N(mu ,dfrac (9)(n))B. sim N(mu ,dfrac (9)(n))C. sim N(mu ,dfrac (9)(n))D. sim N(mu ,dfrac (9)(n))
设随机变量
若已知 
,
0.95" data-width="179" data-height="24" data-size="2022" data-format="png" style="max-width:100%">
, 则 
最小等于多少( )
(数据
)
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
解，由题意得：
0.95\\
&\Leftrightarrow P\left(-c<\bar{X}-\mu
其中
是标准正态分布的随机变量。
根据题目给出的数据，有：
故可以取
，使得上式成立。
因此，最小等于
，选项D正确。
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们找到一个最小的值，使得 $P(|\overline {X}-\mu |\lt c)\gt 0.95$ 成立，其中 $X\sim N(\mu ,\dfrac {9}{n})$，且已知 $n=16$。这意味着我们需要找到一个 $c$ 值，使得样本均值 $\overline {X}$ 与总体均值 $\mu$ 的差的绝对值小于 $c$ 的概率大于 0.95。
步骤 2：标准化
由于 $X\sim N(\mu ,\dfrac {9}{n})$，样本均值 $\overline {X}$ 也服从正态分布，即 $\overline {X}\sim N(\mu ,\dfrac {9}{16})$。因此，我们可以将 $|\overline {X}-\mu|$ 标准化为 $Z$ 分布，即 $Z=\dfrac{\overline {X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{9}{16}}}$。这样，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：计算概率
根据题目要求，我们需要找到一个 $c$ 值，使得 $P(|\overline {X}-\mu |\lt c)\gt 0.95$。将 $|\overline {X}-\mu|$ 标准化后，我们有 $P\left(-\dfrac{4c}{3}0.95$。由于 $Z$ 服从标准正态分布，我们可以使用标准正态分布表来查找对应的 $Z$ 值。根据题目给出的数据，$\Phi(1.96)=0.975$，因此我们可以取 $\dfrac{4c}{3}=1.96$，从而得到 $c=\dfrac{3\times 1.96}{4}=1.47$。
题目要求我们找到一个最小的值，使得 $P(|\overline {X}-\mu |\lt c)\gt 0.95$ 成立，其中 $X\sim N(\mu ,\dfrac {9}{n})$，且已知 $n=16$。这意味着我们需要找到一个 $c$ 值，使得样本均值 $\overline {X}$ 与总体均值 $\mu$ 的差的绝对值小于 $c$ 的概率大于 0.95。
步骤 2：标准化
由于 $X\sim N(\mu ,\dfrac {9}{n})$，样本均值 $\overline {X}$ 也服从正态分布，即 $\overline {X}\sim N(\mu ,\dfrac {9}{16})$。因此，我们可以将 $|\overline {X}-\mu|$ 标准化为 $Z$ 分布，即 $Z=\dfrac{\overline {X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{9}{16}}}$。这样，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：计算概率
根据题目要求，我们需要找到一个 $c$ 值，使得 $P(|\overline {X}-\mu |\lt c)\gt 0.95$。将 $|\overline {X}-\mu|$ 标准化后，我们有 $P\left(-\dfrac{4c}{3}