设随机变量 X sim P(lambda)，已知 P(X=1) = P(X=2)，则 P(X=4) = ( )A. (1)/(3) e^2B. (2)/(3) e^-2C. (1)/(3) e^-2D. (2)/(3) e^2

本题考查泊松分布的概率公式及参数计算。

步骤1：回忆泊松分布的概率公式

随机变量$X \sim P(\lambda)$（泊松分布）的概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad (k=0,1,2,\dots)$
其中$\lambda>0$是分布的参数，表示单位时间（或单位区域）内随机事件的平均发生率。

步骤2：利用已知条件$P(X=1)=P(X=2)$求$\lambda$

根据泊松分布公式公式公式，分别计算$P(X=1)$和$P(X=2)$：
$P(X=1) = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda}$
$P(X=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$

由$P(X=1)=P(X=2)$，得：
$\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\}}{}}{2}$

由于$\lambda>0$，$e^{-\lambda} \neq 0$，等式两边可同时除以$\lambda e^{-\lambda}$，解得：
$\lambda = 2$

步骤3：计算$P(X=4)$

将$\lambda=2$代入泊松分布公式，计算$P(X=4)$：
$P(X=4) = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3} e^{-2}$