14.设 (x)=(2+x-(x)^2)ln (1+2x), 求f(5)(0).
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查泰勒展开的应用及高阶导数的计算。关键在于将函数分解为两个部分，分别展开到足够阶数后相乘，提取目标项的系数。
解题思路：
- 分解函数：将$f(x)$拆分为多项式$(2 + x - x^2)$和对数函数$\ln(1+2x)$。
- 泰勒展开：对$\ln(1+2x)$展开到$x^5$项，多项式部分直接保留原式。
- 乘积展开：将两部分的展开式相乘，仅保留到$x^5$项，收集$x^5$项的系数。
- 导数与系数关系：利用泰勒级数中$x^5$项的系数与五阶导数的关系，计算$f^{(5)}(0)$。
破题关键：正确展开$\ln(1+2x)$并准确计算乘积中的$x^5$项系数，避免遗漏组合项。
步骤1：展开$\ln(1+2x)$
利用泰勒公式$\ln(1+t) = t - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^4}{4} + \dfrac{t^5}{5} + o(t^5)$，令$t=2x$：
$\begin{aligned}\ln(1+2x) &= 2x - \dfrac{(2x)^2}{2} + \dfrac{(2x)^3}{3} - \dfrac{(2x)^4}{4} + \dfrac{(2x)^5}{5} + o(x^5) \\&= 2x - 2x^2 + \dfrac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \dfrac{32}{5}x^5 + o(x^5).\end{aligned}$
步骤2：展开多项式部分
多项式部分$(2 + x - x^2)$已展开到$x^2$项，无需进一步展开。
步骤3：乘积展开并收集$x^5$项
将两部分相乘，仅保留到$x^5$项：
$\begin{aligned}f(x) &= (2 + x - x^2) \cdot \left(2x - 2x^2 + \dfrac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \dfrac{32}{5}x^5\right) \\&\text{展开后，收集$x^5$项的系数：} \\&= \underbrace{2 \cdot \dfrac{32}{5}x^5}_{\dfrac{64}{5}x^5} + \underbrace{x \cdot (-4x^4)}_{-4x^5} + \underbrace{(-x^2) \cdot \dfrac{8}{3}x^3}_{-\dfrac{8}{3}x^5} \\&= \left(\dfrac{64}{5} - 4 - \dfrac{8}{3}\right)x^5.\end{aligned}$
步骤4：计算系数并求导数
将系数通分：
$\dfrac{64}{5} - 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{192}{15} - \dfrac{60}{15} - \dfrac{40}{15} = \dfrac{92}{15}.$
根据泰勒展开公式，$x^5$项系数为$\dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}$，故：
$f^{(5)}(0) = \dfrac{92}{15} \cdot 5! = \dfrac{92}{15} \cdot 120 = 736.$