在保持置信水平不变的条件下,欲使估计区间的长度缩小一半,则样本量应()。A. 增加2倍B. 增加1倍C. 减少一半D. 增加3倍

本题考查的是置信区间长度与样本量之间的关系。解题的关键在于明确置信区间长度的计算公式，然后根据题目条件建立等式，通过对比不同情况下的样本量来得出结论。

步骤一：明确置信区间长度公式

对于总体均值的置信区间，在总体方差$\sigma^2$已知的情况下，置信区间为$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是与置信水平对应的分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。置信区间的长度$L$为：
$L = 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

步骤二：设原样本量和原区间长度

设原来的样本量为$n_1$，对应的置信区间长度为$L_1$，则$L_1 = 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}$。

步骤三：设变化后的样本量和区间长度

题目要求在保持置信水平不变的条件下，使估计区间的长度缩小一半，即新的区间长度$L_2=\frac{1}{2}L_1$。设变化后的样本量为$n_2$，则$L_2 = 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}$。

步骤四：建立等式求解$n_2$

因为$L_2=\frac{1}{2}L_1$，所以$2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}=\frac{1}{2} \times 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}$。
等式两边同时约去$2z_{\alpha/2} \sigma$，得到$\frac{1}{\sqrt{n_2}}=\frac{1}{2\sqrt{n_1}}$。
两边同时平方可得$\frac{1}{n_2}=\frac{1}{4n_1}$，则$n_2 = 4n_1$。

步骤五：计算样本量的增加倍数

样本量增加的倍数为$\frac{n_2 - n_1}{n_1}=\frac{4n_1 - n_1}{n_1}=\frac{3n_1}{n_1}=3$，即样本量应增加$3$倍。