2.设X与Y相互独立且都服从N(0,3²)分布，X_(1),X_(2),...,X_(9)，Y_(1),Y_(2),...,Y_(9)分别是来自 于X和Y的样本，则统计量 Y=(X_(1)+X_(2)+...+X_(9))/(sqrt(Y_(1)^2)+Y_{2^2+...+Y_{9)^2}}服从____分布.A. （A）t(9).B. （B）χ²(9).C. （C）t(8).D. （D）t(18).

考查要点：本题主要考查统计量的分布，涉及正态分布、卡方分布和t分布的性质及其组合形式。

解题核心思路：

1. 分子部分：由独立正态变量的和构成，需转化为标准正态分布。
2. 分母部分：由独立正态变量的平方和构成，需转化为卡方分布。
3. 组合形式：分子为标准正态，分母为卡方分布的平方根形式，符合t分布的定义。

破题关键点：

• 分子标准化：将样本和转化为标准正态变量。
• 分母卡方化：将平方和转化为卡方分布的倍数。
• 自由度匹配：根据卡方分布的自由度确定t分布的自由度。

分析分子分布

• $X_1, X_2, \ldots, X_9$ 服从 $N(0, 3^2)$，独立同分布。
• 样本和 $S_X = X_1 + X_2 + \cdots + X_9$ 的分布为：
  $S_X \sim N\left(0, 9 \cdot 3^2\right) = N(0, 81)$
• 标准化后：$\frac{S_X}{9} \sim N(0, 1)$，即 $S_X = 9Z$（$Z \sim N(0, 1)$）。

分析分母分布

• $Y_1, Y_2, \ldots, Y_9$ 服从 $N(0, 3^2)$，独立同分布。
• 平方和 $Q_Y = Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_9^2$ 的分布为：
  $\frac{Q_Y}{3^2} \sim \chi^2(9) \quad \Rightarrow \quad Q_Y \sim 9 \cdot \chi^2(9)$
• 分母部分为 $\sqrt{Q_Y} = 3 \sqrt{\chi^2(9)}$。

构造统计量

• 统计量 $Y$ 可表示为：
  $Y = \frac{S_X}{\sqrt{Q_Y}} = \frac{9Z}{3 \sqrt{\chi^2(9)}} = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(9)/9}}$
• 根据t分布的定义，分子为标准正态，分母为 $\sqrt{\chi^2(v)/v}$，则 $Y \sim t(v)$，其中 $v = 9$。