计算题1.计算不定积分int(x^3+2x+1)/(x^2)+1dx.（6分）

本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数进行多项式长除法化简，再分别对化简后的各项进行积分，最后将各项积分结果相加并加上积分常数。

1. 对被积函数进行多项式长除法：
   • 用分子$x^{3}+2x + 1$除以分母$x^{2}+1$。
   • 首先，$x^{3}\div x^{2}=x$，然后用$x$乘以$x^{2}+1$得到$x^{3}+x$。
   • 用$x^{3}+2x + 1$减去$x^{3}+x$，即$(x^{3}+2x + 1)-(x^{3}+x)=x + 1$。
   • 所以$\frac{x^{3}+2x + 1}{x^{2}+1}=x+\frac{x + 1}{x^{2}+1}$。
2. 分别对化简后的各项进行积分：
   • 对于$\int xdx$，根据幂函数积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，这里$n = 1$，则$\int xdx=\frac{x^{1 + 1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C_1$。
   • 对于$\int\frac{x + 1}{x^{2}+1}dx$，将其拆分为$\int\frac{x}{x^{2}+1}dx+\int\frac{1}{x^{2}+1}dx$。
     • 计算$\int\frac{x}{x^{2}+1}dx$：
       • 令$u=x^{2}+1$，则$du = 2xdx$，$xdx=\frac{1}{2}du$。
       • 那么$\int\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$。
       • 根据对数函数积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln|u|+C_2=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C_2$（因为$x^{2}+1\gt{}0$，所以绝对值符号可去掉）。
     • 计算$\int\frac{1}{x^{2}+1}dx$：
       • 根据反正切函数积分公式$\int\frac{1}{x^{2}+1}dx=\arctan x+C_3$。
   • 所以$\int\frac{x + 1}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\arctan x+C_4$（$C_4 = C_2+C_3$）。
3. 合并各项积分结果：
   • $\int\frac{x^{3}+2x + 1}{x^{2}+1}dx=\int xdx+\int\frac{x + 1}{x^{2}+1}dx$。
   • 把$\int xdx=\frac{x^{2}}{2}+C_1$和$\int\frac{x + 1}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\arctan x+C_4$代入上式，得到$\int\frac{x^{3}+2x + 1}{x^{2}+1}dx=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\arctan x+C$（$C = C_1+C_4$）。
   • 又因为$\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)=\ln\sqrt{x^{2}+1}$，所以结果也可表示为$\frac{x^{2}}{2}+\ln\sqrt{x^{2}+1}+\arctan x+C$。