10. (10.0分) 在总体N(5,4^2)中随机抽取容量为16的样本X_(1)，X_(2)……，X_(16)，求样本均值落在4.7到5.3之间的概率。(注：Phi(0.3)=0.6179)

为了求解样本均值落在4.7到5.3之间的概率，我们需要使用正态分布的性质和中心极限定理。下面将分步进行解答。 1. **确定总体和样本信息：** - 总体分布为 $ N(5, 4^2) $，即 $ N(5, 16) $。 - 样本容量 $ n = 16 $。 - 样本均值 $ \bar{X} $ 的分布为 $ N\left(5, \frac{16}{16}\right) = N(5, 1) $。 2. **将样本均值的范围转换为标准正态分布的范围：** - 样本均值 $ \bar{X} $ 落在4.7到5.3之间，即 $ 4.7 < \bar{X} < 5.3 $。 - 将 $ \bar{X} $ 标准化，得到 $ Z = \frac{\bar{X} - 5}{1} = \bar{X} - 5 $。 - 因此， $ 4.7 < \bar{X} < 5.3 $ 等价于 $ 4.7 - 5 < Z < 5.3 - 5 $，即 $ -0.3 < Z < 0.3 $。 3. **使用标准正态分布表求概率：** - 标准正态分布表给出了 $ P(Z < z) $ 的值。 - $ P(-0.3 < Z < 0.3) = P(Z < 0.3) - P(Z < -0.3) $。 - 由于标准正态分布是 symmetric 的， $ P(Z < -0.3) = 1 - P(Z < 0.3) $。 - 因此， $ P(-0.3 < Z < 0.3) = P(Z < 0.3) - (1 - P(Z < 0.3)) = 2P(Z < 0.3) - 1 $。 4. **查表找到 $ P(Z < 0.3) $ 的值：** - 根据题目， $ \Phi(0.3) = 0.6179 $，即 $ P(Z < 0.3) = 0.6179 $。 5. **计算最终概率：** - $ P(-0.3 < Z < 0.3) = 2 \times 0.6179 - 1 = 1.2358 - 1 = 0.2358 $。 因此，样本均值落在4.7到5.3之间的概率是 $\boxed{0.2358}$。