题目

10. (10.0分) 在总体N(5,4^2)中随机抽取容量为16的样本X_(1)，X_(2)……，X_(16)，求样本均值落在4.7到5.3之间的概率。(注：Phi(0.3)=0.6179)

10. (10.0分) 在总体$N(5,4^{2})$中随机抽取容量为16的样本$X_{1}$，$X_{2}$……，$X_{16}$，求样本均值落在4.7到5.3之间的概率。(注：$\Phi(0.3)=0.6179$)

题目解答

答案

为了求解样本均值落在4.7到5.3之间的概率，我们需要使用正态分布的性质和中心极限定理。下面将分步进行解答。 1. **确定总体和样本信息：** - 总体分布为 $ N(5, 4^2) $，即 $ N(5, 16) $。 - 样本容量 $ n = 16 $。 - 样本均值 $ \bar{X} $ 的分布为 $ N\left(5, \frac{16}{16}\right) = N(5, 1) $。 2. **将样本均值的范围转换为标准正态分布的范围：** - 样本均值 $ \bar{X} $ 落在4.7到5.3之间，即 $ 4.7 < \bar{X} < 5.3 $。 - 将 $ \bar{X} $ 标准化，得到 $ Z = \frac{\bar{X} - 5}{1} = \bar{X} - 5 $。 - 因此， $ 4.7 < \bar{X} < 5.3 $ 等价于 $ 4.7 - 5 < Z < 5.3 - 5 $，即 $ -0.3 < Z < 0.3 $。 3. **使用标准正态分布表求概率：** - 标准正态分布表给出了 $ P(Z < z) $ 的值。 - $ P(-0.3 < Z < 0.3) = P(Z < 0.3) - P(Z < -0.3) $。 - 由于标准正态分布是 symmetric 的， $ P(Z < -0.3) = 1 - P(Z < 0.3) $。 - 因此， $ P(-0.3 < Z < 0.3) = P(Z < 0.3) - (1 - P(Z < 0.3)) = 2P(Z < 0.3) - 1 $。 4. **查表找到 $ P(Z < 0.3) $ 的值：** - 根据题目， $ \Phi(0.3) = 0.6179 $，即 $ P(Z < 0.3) = 0.6179 $。 5. **计算最终概率：** - $ P(-0.3 < Z < 0.3) = 2 \times 0.6179 - 1 = 1.2358 - 1 = 0.2358 $。 因此，样本均值落在4.7到5.3之间的概率是 $\boxed{0.2358}$。

解析

本题考查正态分布的性质以及中心极限定理的应用。解题的关键思路是先根据总体分布和样本容量确定样本均值的分布，再将样本均值的取值范围转化为标准正态分布的取值范围，最后利用标准正态分布的性质和给定的概率值计算出所求概率。

  1. 确定样本均值的分布：
    • 已知总体服从正态分布$N(5,4^{2})$，即总体均值$\mu = 5$，总体方差$\sigma^{2}=4^{2}=16$。
    • 样本容量$n = 16$。
    • 根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，将$\mu = 5$，$\sigma^{2}=16$，$n = 16$代入可得$\bar{X}\sim N(5,\frac{16}{16})=N(5,1)$，即样本均值$\bar{X}$的均值为$5$，方差为$1$。
  2. 将样本均值的范围转化为标准正态分布的范围：
    • 要求样本均值$\bar{X}$落在$4.7$到$5.3$之间的概率，即求$P(4.7<\bar{X}<5.3)$。
    • 对于正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，可通过标准化变换$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$将其转化为标准正态分布$N(0,1)$。这里$\bar{X}\sim N(5,1)$，则$Z=\frac{\bar{X}-5}{1}=\bar{X}-5$。
    • 当$\bar{X}=4.7$时，$Z_1=\frac{4.7 - 5}{1}=-0.3$；当$\bar{X}=5.3$时，$Z_2=\frac{5.3 - 5}{1}=0.3$。
    • 所以$P(4.7<\bar{X}<5.3)=P(-0.3<Z<0.3)$。
  3. 计算标准正态分布的概率：
    • 根据标准正态分布的性质，$P(-0.3<Z<0.3)=P(Z < 0.3)-P(Z < -0.3)$。
    • 由于标准正态分布关于$y$轴对称，所以$P(Z < -z)=1 - P(Z < z)$，则$P(Z < -0.3)=1 - P(Z < 0.3)$。
    • 那么$P(-0.3<Z<0.3)=P(Z < 0.3)-(1 - P(Z < 0.3))=2P(Z < 0.3)-1$。
  4. 代入已知概率值计算最终结果：
    • 已知$\varPhi(0.3)=P(Z < 0.3)=0.6179$。
    • 将$P(Z < 0.3)=0.6179$代入$P(-0.3<Z<0.3)=2P(Z < 0.3)-1$可得：
      $P(-0.3<Z<0.3)=2\times0.6179 - 1=1.2358 - 1 = 0.2358$。