题目
5.[填空题]设X~N(0,σ²)，Y~N(0,σ²)，而且P(X≤2,Y≤-2)=(1)/(4)，则P(X>2,Y>-2)=_.
5.[填空题]
设X~N(0,σ²)，Y~N(0,σ²)，而且P{X≤2,Y≤-2}=$\frac{1}{4}$，则P{X>2,Y>-2}=_.
题目解答
答案
已知 $X$ 和 $Y$ 均服从 $N(0, \sigma^2)$，概率密度函数关于0对称。由对称性，有：
\[ P\{X \leq -2\} = P\{X \geq 2\}, \quad P\{Y \leq -2\} = P\{Y \geq 2\}. \]
已知 $P\{X \leq 2, Y \leq -2\} = \frac{1}{4}$，利用对称性得：
\[ P\{X \geq -2, Y \geq 2\} = \frac{1}{4}. \]
考虑整个平面被直线 $x = 2$ 和 $y = -2$ 分成四个区域，总概率为1。由对称性，四个区域概率相等，均为 $\frac{1}{4}$。因此：
\[ P\{X > 2, Y > -2\} = \frac{1}{4}. \]
答案：$\boxed{\frac{1}{4}}$
解析
步骤 1：理解概率分布
$X$ 和 $Y$ 均服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$，这意味着它们的概率密度函数关于0对称。因此，$X$ 和 $Y$ 的分布关于 $x=0$ 和 $y=0$ 对称。
步骤 2：利用对称性
由对称性，有：\[ P\{X \leq -2\} = P\{X \geq 2\}, \quad P\{Y \leq -2\} = P\{Y \geq 2\}. \] 已知 $P\{X \leq 2, Y \leq -2\} = \frac{1}{4}$，利用对称性得：\[ P\{X \geq -2, Y \geq 2\} = \frac{1}{4}. \]
步骤 3：考虑整个平面
考虑整个平面被直线 $x = 2$ 和 $y = -2$ 分成四个区域，总概率为1。由对称性，四个区域概率相等，均为 $\frac{1}{4}$。因此：\[ P\{X > 2, Y > -2\} = \frac{1}{4}. \]
$X$ 和 $Y$ 均服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$，这意味着它们的概率密度函数关于0对称。因此，$X$ 和 $Y$ 的分布关于 $x=0$ 和 $y=0$ 对称。
步骤 2：利用对称性
由对称性，有：\[ P\{X \leq -2\} = P\{X \geq 2\}, \quad P\{Y \leq -2\} = P\{Y \geq 2\}. \] 已知 $P\{X \leq 2, Y \leq -2\} = \frac{1}{4}$，利用对称性得：\[ P\{X \geq -2, Y \geq 2\} = \frac{1}{4}. \]
步骤 3：考虑整个平面
考虑整个平面被直线 $x = 2$ 和 $y = -2$ 分成四个区域，总概率为1。由对称性，四个区域概率相等，均为 $\frac{1}{4}$。因此：\[ P\{X > 2, Y > -2\} = \frac{1}{4}. \]