题目
若_(1),... ,(X)_(2),... 独立同分布，且_(1),... ,(X)_(2),... ，_(1),... ,(X)_(2),... 为标准正态分布的分布函数，则下列表述正确的是（）.A._(1),... ,(X)_(2),... B._(1),... ,(X)_(2),... C._(1),... ,(X)_(2),... D._(1),... ,(X)_(2),...
若
独立同分布，且
，
为标准正态分布的分布函数，则下列表述正确的是（）.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
设
是独立同分布的随机变量序列，且
当
充分大时，有
.
∵独立同分布，且
由独立同分布的中心极限定理可得：
当充分大时，
化简得：
由标准正态分布的分布函数的定义得：
.
故选A.
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
由于${X}_{i}\sim E(2)$，即${X}_{i}$服从参数为2的指数分布，因此其期望$E(X_i) = \frac{1}{2}$，方差$D(X_i) = \frac{1}{4}$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当$n$充分大时，$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。将$E(X_i) = \frac{1}{2}$和$D(X_i) = \frac{1}{4}$代入，得到$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}$近似服从$N(0,1)$。
步骤 3：化简表达式
化简得到$\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}}$近似服从$N(0,1)$。因此，$p(\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x) = \Phi(x)$，其中$\Phi(x)$是标准正态分布的分布函数。
由于${X}_{i}\sim E(2)$，即${X}_{i}$服从参数为2的指数分布，因此其期望$E(X_i) = \frac{1}{2}$，方差$D(X_i) = \frac{1}{4}$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当$n$充分大时，$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。将$E(X_i) = \frac{1}{2}$和$D(X_i) = \frac{1}{4}$代入，得到$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}$近似服从$N(0,1)$。
步骤 3：化简表达式
化简得到$\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}}$近似服从$N(0,1)$。因此，$p(\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x) = \Phi(x)$，其中$\Phi(x)$是标准正态分布的分布函数。