1.设A、B、C为三个随机事件, (A)=P(B)=P(C)=dfrac (1)(5), P(BC)=0 (AB)=P(AC)=dfrac (1)(6),-|||-则A、B、C都不发生的概率是 __ --|||-2.设离散型随机变量X的分布律如右表, 0 1 2-|||-则 0leqslant xleqslant 1.5 = __ P 0.2 0.5 0.3-|||-3.设随机变量 approx N(0,1), 则 =x+2 的概率密度为 (x)= __ .-|||-4.设总体 approx N(mu ,(sigma )^2), X1,X2,···,Xn是从总体X中抽取的一个样本, overline (x)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^nX, 是其样本-|||-均值,则X服从的分布是 __ (同时写出该分布的参数).-|||-5.设总体 approx N(mu ,(0.4)^2), x1,x2,···,x10是从中抽取的一个样本的样本观测值,算得 =10.12, 则-|||-μ的置信度为0.95的置信区间是 __ (已知: .025=1.96, _(0.06)=1.645 )
题目解答
答案
解析
填空题1：A、B、C都不发生的概率
题目要求计算A、B、C都不发生的概率，即$P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})$。根据概率的对偶律，该概率等于$1-P(A\cup B\cup C)$。
已知：
$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{5}$，$P(AB)=P(AC)=\frac{1}{6}$，$P(BC)=0$（题目中“$P(BC)=0$”可能为笔误修正）。
利用三个事件的并集公式：
$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$
由于$P(BC)=0$，且$ABC\subset BC$，故$P(ABC)=0$。代入数据：
$P(A\cup B\cup C)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-0+0=\frac{3}{5}-\frac{1}{3}=\frac{9-5}{15}=\frac{4}{15}$
因此：
$P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$
$$
## 填空题2：$P\{0\leq X\leq1.5\}$
离散型随机变量X的分布律为：$P(X=0)=p=0.2$，$P(X=1)=0.5$，$P(X=2)=0.3$（题目中“p 0.2 0.5 0.3”修正为对应X=0,1,2的概率）。
事件$\{0\leq X\leq1.5\}$包含$X=0$和$X=1$，故：$
P{0\leq X\leq1.5}=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.5=0.7
$## 填空题3：Y=X+2的概率密度
已知$X\sim N(0,1)$，其概率密度为$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$。Y=X+2是X的线性变换，服从正态分布$N(\mu+\sigma^2,\sigma^2)$，此处$\mu=0,\sigma^2=1加1$，故$Y\sim N(2,1)$。
正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的概率密度为$f(y)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}}$，代入$\mu=2,\sigma=1$：$
f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y-2)^2}{2}},\quad y\in\mathbb{R}
$## 填空题4：样本均值$\overline{X}$的分布
总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$服从正态分布，均值为$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$（样本方差性质）。题目中答案“N(σ²)”可能漏写均值和样本量，正确应为$N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$，但根据给定答案格式，推测可能简化为$N(\mu,\sigma^2/n)$（原答案可能笔误）。
## 填空题5：μ的置信度0.95的置信区间
总体$X\sim N(\mu,0.4^2)$，方差已知，置信区间公式为：$
\overline{x}\pm z{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$已知：$\overline{x}=10.12$，$\sigma=0.4$，$n=10$，$z_{0.025}=1.96$（置信度0.95，$\alpha=0.05$）。
计算边际误差：$
z{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1.96\times\frac{0.4}{\sqrt{10}}\approx1.96\times0.1265\approx0.248
$置信区间为：$
10.12\pm0.248\implies(9.924,10.316)$$