题目

一家外贸加工厂生产的零件长度X被认为服从(zo``)`N，现从该产品中随机抽取6个。其长度的测量值如下(单位：毫米)14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1求总体方差(zo``)`N的置信度为0.95的置信区间。(置信区间保留2位小数)参考分布表:(zo``)`N

一家外贸加工厂生产的零件长度X被认为服从 $N\left(\mu,\ \sigma^2\right)$ ，现从该产品中随机抽取6个。其长度的测量值如下(单位：毫米)

14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1

求总体方差 $\sigma^2$ 的置信度为0.95的置信区间。(置信区间保留2位小数)参考分布表: $t_{0.025}(15) =2.1315,t_{0.025}(16) =2.1199,t_{0.05}(15) =1.7531,t_ {0.05}(16)=1.7359\newline \chi ^2_{0.025}(5) =12.832 , \chi ^2_{0.025}(6) =14.440,\chi ^2_{0.975}(5) =0.831,\chi ^2_{0.975}(6) =1.237$

题目解答

答案

根据样本均值的计算公式： $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ 将其中数据代入即可求出 $\overline{X}=14.95$ ,根据样本方差计算公式： $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$ 将其中数据代入即可求出 $S^2=0.0425$

由于随机变量X服从正态分布( $N(E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2)$ )根据正态分布方差 $\sigma^2$ 的一个置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $\left(\frac{\left(n-1\right)S^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2\left(n-1\right)},\frac{\left(n-1\right)S^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2\left(n-1\right)}\right)$ ，由于置信度为0.95所以 $\alpha=0.05$ ，将置信区间中的参数带入即可求出总体方差 $\sigma^2$ 的置信度为0.95的置信区间为 $\left(\frac{5\times0.0425}{12.832},\frac{5\times0.0425}{0.831}\right)=\left(0.02,0.26\right)$