题目
与 (Cov)(X,Y)=0 不等价的是()A. E(XY)=EX cdot EYB. D(X+Y)=DX+DYC. D(X-Y)=DX+DYD. X 与 Y 独立
与 $\text{Cov}(X,Y)=0$ 不等价的是()
A. $E(XY)=EX \cdot EY$
B. $D(X+Y)=DX+DY$
C. $D(X-Y)=DX+DY$
D. $X$ 与 $Y$ 独立
题目解答
答案
D. $X$ 与 $Y$ 独立
解析
步骤 1：理解协方差的定义
协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 定义为 $E[(X - EX)(Y - EY)]$，也可以写作 $E(XY) - EX \cdot EY$。当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，意味着 $E(XY) = EX \cdot EY$。
步骤 2：分析选项A
选项A $E(XY) = EX \cdot EY$ 直接由协方差的定义得出，因此与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 3：分析选项B
选项B $D(X+Y) = DX + DY$，根据方差的性质，$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$。当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，$D(X+Y) = DX + DY$ 成立，因此与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 4：分析选项C
选项C $D(X-Y) = DX + DY$，根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X, Y)$。当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，$D(X-Y) = DX + DY$ 成立，因此与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 5：分析选项D
选项D $X$ 与 $Y$ 独立，独立性意味着 $E(XY) = EX \cdot EY$，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。但是，$\text{Cov}(X, Y) = 0$ 并不意味着 $X$ 与 $Y$ 独立，因为可能存在非线性相关。因此，选项D与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 不等价。
协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 定义为 $E[(X - EX)(Y - EY)]$，也可以写作 $E(XY) - EX \cdot EY$。当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，意味着 $E(XY) = EX \cdot EY$。
步骤 2：分析选项A
选项A $E(XY) = EX \cdot EY$ 直接由协方差的定义得出，因此与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 3：分析选项B
选项B $D(X+Y) = DX + DY$，根据方差的性质，$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$。当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，$D(X+Y) = DX + DY$ 成立，因此与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 4：分析选项C
选项C $D(X-Y) = DX + DY$，根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X, Y)$。当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，$D(X-Y) = DX + DY$ 成立，因此与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 5：分析选项D
选项D $X$ 与 $Y$ 独立，独立性意味着 $E(XY) = EX \cdot EY$，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。但是，$\text{Cov}(X, Y) = 0$ 并不意味着 $X$ 与 $Y$ 独立，因为可能存在非线性相关。因此，选项D与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 不等价。