题目

9、设X_(1),X_(2),X_(3)是来自总体X的样本，hat(μ)=(1)/(4)X_(1)+aX_(2)+(1)/(2)X_(3)为总体均值μ的无偏估计，则a=_____.

9、设$X_{1},X_{2},X_{3}$是来自总体X的样本，$\hat{μ}=\frac{1}{4}X_{1}+aX_{2}+\frac{1}{2}X_{3}$为总体均值μ的无偏估计， 则a=_____.

题目解答

答案

为了确定 $a$ 的值，使得 $\hat{\mu} = \frac{1}{4}X_1 + aX_2 + \frac{1}{2}X_3$ 成为总体均值 $\mu$ 的无偏估计，我们需要确保 $\hat{\mu}$ 的期望值等于 $\mu$。由于 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X$ 的样本，它们的期望值都是 $\mu$。因此，我们有： \[ E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{4}X_1 + aX_2 + \frac{1}{2}X_3\right) = \frac{1}{4}E(X_1) + aE(X_2) + \frac{1}{2}E(X_3) = \frac{1}{4}\mu + a\mu + \frac{1}{2}\mu \] 为了使 $\hat{\mu}$ 成为 $\mu$ 的无偏估计，必须有： \[ E(\hat{\mu}) = \mu \] 因此，我们得到： \[ \frac{1}{4}\mu + a\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu \] 我们可以从等式的左边提取 $\mu$： \[ \left(\frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}\right)\mu = \mu \] 由于 $\mu \neq 0$，我们可以将等式的两边除以 $\mu$： \[ \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2} = 1 \] 接下来，我们将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加： \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \] 因此，等式变为： \[ \frac{3}{4} + a = 1 \] 为了求解 $a$，我们从等式的两边减去 $\frac{3}{4}$： \[ a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] 因此，$a$ 的值是 $\boxed{\frac{1}{4}}$。

解析

无偏估计的核心在于估计量的期望等于被估计的总体参数。本题中，$\hat{\mu}$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计，因此需满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$。由于样本 $X_1, X_2, X_3$ 的期望均为 $\mu$，只需将 $\hat{\mu}$ 的系数相加等于 $1$，即可解出 $a$ 的值。

  1. 计算估计量的期望
    根据无偏性定义，有：
    $E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{4}X_1 + aX_2 + \frac{1}{2}X_3\right) = \frac{1}{4}E(X_1) + aE(X_2) + \frac{1}{2}E(X_3)$
    由于 $E(X_i) = \mu$，代入得：
    $E(\hat{\mu}) = \frac{1}{4}\mu + a\mu + \frac{1}{2}\mu$

  2. 建立方程并求解
    要求 $E(\hat{\mu}) = \mu$，即：
    $\left(\frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}\right)\mu = \mu$
    消去 $\mu$（假设 $\mu \neq 0$）后得：
    $\frac{1}{4} + a + \frac{1}{2} = 1$
    合并常数项：
    $\frac{3}{4} + a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{4}$