题目
设随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数rho_(XY)=0.2，则D(X+2Y)的值为()。A. 110B. 97C. 105D. 76
设随机变量$X$与$Y$的方差分别为25和16，相关系数$\rho_{XY}=0.2$，则$D(X+2Y)$的值为()。
A. 110
B. 97
C. 105
D. 76
题目解答
答案
C. 105
解析
步骤 1：计算$D(2Y)$
根据方差的性质，$D(aY) = a^2D(Y)$，其中$a$为常数。因此，$D(2Y) = 4D(Y) = 4 \times 16 = 64$。
步骤 2：计算$\text{Cov}(X, 2Y)$
根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, aY) = a\text{Cov}(X, Y)$，其中$a$为常数。因此，$\text{Cov}(X, 2Y) = 2\text{Cov}(X, Y)$。由相关系数$\rho_{XY} = 0.2$，得$\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = 0.2 \times 5 \times 4 = 4$。因此，$\text{Cov}(X, 2Y) = 2 \times 4 = 8$。
步骤 3：计算$D(X + 2Y)$
根据方差的性质，$D(X + aY) = D(X) + D(aY) + 2\text{Cov}(X, aY)$。代入已知值，得$D(X + 2Y) = 25 + 64 + 2 \times 8 = 105$。
根据方差的性质，$D(aY) = a^2D(Y)$，其中$a$为常数。因此，$D(2Y) = 4D(Y) = 4 \times 16 = 64$。
步骤 2：计算$\text{Cov}(X, 2Y)$
根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, aY) = a\text{Cov}(X, Y)$，其中$a$为常数。因此，$\text{Cov}(X, 2Y) = 2\text{Cov}(X, Y)$。由相关系数$\rho_{XY} = 0.2$，得$\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = 0.2 \times 5 \times 4 = 4$。因此，$\text{Cov}(X, 2Y) = 2 \times 4 = 8$。
步骤 3：计算$D(X + 2Y)$
根据方差的性质，$D(X + aY) = D(X) + D(aY) + 2\text{Cov}(X, aY)$。代入已知值，得$D(X + 2Y) = 25 + 64 + 2 \times 8 = 105$。