题目
设随机变量 sim N(0,0.25) sim P(0.36) rho xY=0.5,,则D(X-Y) = ____.
则D(X-Y) = ____.
题目解答
答案
D(X)=0.25，D(Y)=0.36，可得
根据方差的性质D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)，把D(X)=0.25，D(Y)=0.36，Cov(X,Y)=0.15代入可得：
故答案为：0.31
解析
步骤 1：确定随机变量X的方差
由于 $X\sim N(0,0.25)$，对于正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，其方差 $D(X)=\sigma^2$，所以 $D(X)=0.25$。
步骤 2：确定随机变量Y的方差
由于 $Y\sim P(0.36)$，对于泊松分布 $P(\lambda)$，其方差 $D(Y)=\lambda$，所以 $D(Y)=0.36$。
步骤 3：计算协方差Cov(X,Y)
已知 $\rho_{XY}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，且 $\rho_{XY}=0.5$，$D(X)=0.25$，$D(Y)=0.36$，可得 $Cov(X,Y)=\rho_{XY} \times \sqrt{D(X)} \times \sqrt{D(Y)}=0.5 \times \sqrt{0.25} \times \sqrt{0.36}=0.5 \times 0.5 \times 0.6=0.15$。
步骤 4：计算D(X-Y)
根据方差的性质 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，把 $D(X)=0.25$，$D(Y)=0.36$，$Cov(X,Y)=0.15$ 代入可得：$D(X-Y)=0.25+0.36-2 \times 0.15=0.25+0.36-0.3=0.31$。
由于 $X\sim N(0,0.25)$，对于正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，其方差 $D(X)=\sigma^2$，所以 $D(X)=0.25$。
步骤 2：确定随机变量Y的方差
由于 $Y\sim P(0.36)$，对于泊松分布 $P(\lambda)$，其方差 $D(Y)=\lambda$，所以 $D(Y)=0.36$。
步骤 3：计算协方差Cov(X,Y)
已知 $\rho_{XY}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，且 $\rho_{XY}=0.5$，$D(X)=0.25$，$D(Y)=0.36$，可得 $Cov(X,Y)=\rho_{XY} \times \sqrt{D(X)} \times \sqrt{D(Y)}=0.5 \times \sqrt{0.25} \times \sqrt{0.36}=0.5 \times 0.5 \times 0.6=0.15$。
步骤 4：计算D(X-Y)
根据方差的性质 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，把 $D(X)=0.25$，$D(Y)=0.36$，$Cov(X,Y)=0.15$ 代入可得：$D(X-Y)=0.25+0.36-2 \times 0.15=0.25+0.36-0.3=0.31$。