题目
设X~N(μ,4),则()?A. (X-μ)/4~N(0,1)B. P(X≤0)=1/2C. P[(X-μ)>2]=1-φ(1)D. μ≥0
设X~N(μ,4),则()?
A. (X-μ)/4~N(0,1)
B. P(X≤0)=1/2
C. P[(X-μ)>2]=1-φ(1)
D. μ≥0
题目解答
答案
C. P[(X-μ)>2]=1-φ(1)
解析
本题考查正态分布的标准化转换及概率计算。核心思路是:
- 明确正态分布参数:已知方差为4,标准差为2;
- 标准化公式:将一般正态分布转化为标准正态分布时,需用$(X-\mu)/\sigma$($\sigma=2$);
- 概率计算:利用标准正态分布函数$\phi(x)$表示概率。
选项A分析
若$(X-\mu)/4 \sim N(0,1)$,则标准化应使用标准差$\sigma=2$,正确形式为$(X-\mu)/2 \sim N(0,1)$。选项A错误。
选项B分析
$P(X \leq 0) = 1/2$仅在$\mu=0$时成立,但题目未限定$\mu$的值,故选项B不一定成立。
选项C分析
- 标准化处理:
$X-\mu \sim N(0,4)$,标准差为2,故$\frac{X-\mu}{2} \sim N(0,1)$。 - 概率转换:
$P(X-\mu > 2) = P\left(\frac{X-\mu}{2} > \frac{2}{2}\right) = P(Z > 1) = 1 - \phi(1).$
选项C正确。
选项D分析
$\mu$为任意实数,题目未限制其范围,故选项D错误。