题目
3.(判断题，10分)3设(X_(1),X_(2),...,X_(n))为来自于总体的一个样本，则样本方差S^2是总体方差的无偏估计量.A. 对B. 错
3.(判断题，10分)
3设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$为来自于总体的一个样本，则样本方差$S^{2}$是总体方差的无偏估计量.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差 $S^2$ 的定义为：\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] 其中，$X_i$ 是样本观测值，$\bar{X}$ 是样本均值，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算样本方差的期望值
计算 $S^2$ 的期望值：\[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] \]
步骤 3：利用期望性质和方差公式
利用期望性质和方差公式，可得：\[ E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = (n-1)\sigma^2 \] 其中，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 4：验证无偏性
因此：\[ E(S^2) = \sigma^2 \] 样本方差 $S^2$ 的期望值等于总体方差，故为无偏估计量。
样本方差 $S^2$ 的定义为：\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] 其中，$X_i$ 是样本观测值，$\bar{X}$ 是样本均值，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算样本方差的期望值
计算 $S^2$ 的期望值：\[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] \]
步骤 3：利用期望性质和方差公式
利用期望性质和方差公式，可得：\[ E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = (n-1)\sigma^2 \] 其中，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 4：验证无偏性
因此：\[ E(S^2) = \sigma^2 \] 样本方差 $S^2$ 的期望值等于总体方差，故为无偏估计量。