7)lim_(ntoinfty)(1+(1)/(3)+(1)/(3^2)+...+(1)/(3^n));
题目解答
答案
该表达式为等比数列的前 $n+1$ 项和，首项 $a=1$，公比 $q=\frac{1}{3}$。利用等比数列求和公式：
$S_{n+1} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{3^{n+1}} \to 0$，故：
$\lim_{n \to \infty} S_{n+1} = \frac{3}{2}$
或者，直接应用无穷等比数列和公式（$|q|<1$）：
$S = \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$
答案： $\boxed{\frac{3}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查无穷等比数列的求和公式的应用，以及极限思想的理解。
解题核心思路：
题目中的表达式是一个等比数列的前$n+1$项和，首项为$1$，公比为$\frac{1}{3}$。由于公比的绝对值小于$1$，当项数趋于无穷时，数列的和趋于一个确定的值。因此，可以直接应用无穷等比数列求和公式，或先求前$n+1$项和再取极限。
破题关键点：
- 识别数列为等比数列，确定首项和公比。
- 判断公比是否满足$|q| < 1$，决定是否适用无穷级数求和公式。
- 正确代入公式并化简表达式。
步骤1：识别数列结构
题目中的数列为：
$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n}$
这是一个等比数列，首项$a = 1$，公比$q = \frac{1}{3}$，共有$n+1$项。
步骤2：应用等比数列求和公式
前$n+1$项和公式为：
$S_{n+1} = \frac{a(1 - q^{n+1})}{1 - q} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}}$
化简分母：
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
因此：
$S_{n+1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$
步骤3：求极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{3^{n+1}} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} S_{n+1} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$
步骤4（替代方法）：直接应用无穷级数公式
由于$|q| = \frac{1}{3} < 1$，无穷等比数列和公式为：
$S = \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$