题目
设X服从于正态分布, E(X)=1 ((X)^2)=5 F(x)为X的分布函数,则 F(5)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：求正态分布的参数
已知X服从正态分布，对于正态分布N(μ,σ^2)(其中μ为均值,σ^2为方差)，有以下两个重要的公式:
1. $E(X)=\mu$;
2. $D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}={\sigma }^{2}$。
已知 E(X)=1，所以可得 $\mu =1$。
又已知 $E({X}^{2})=5$，根据 $D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$，可求出方差σ^2:
${\sigma }^{2}=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$
$=5-{1}^{2}$
=5-1
=4
所以X服从正态分布N(1,4)，则 $0=2$。
步骤 2：将X标准化
若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，令 $z=\dfrac {x-\mu }{\sigma }$，则 $Z\sim N(0,1)$（标准正态分布）。
对于本题，令 $z=\dfrac {X-1}{2}$，我们要求F(5)，即 $P(X\leqslant 5)$，将其转化为标准正态分布的概率:
$P(X\leqslant 5)=P(\dfrac {X-1}{2}\leqslant \dfrac {5-1}{2})$
$=P(z\leqslant \dfrac {4}{2})$
$=P(Z\leqslant 2)$。
步骤 3：查标准正态分布表求概率
$P(Z\leqslant 2)$的值可以通过查标准正态分布表得到。查标准正态分布表可得 $P(Z\leqslant 2)\approx 0.9772$，即 $F(5)\approx 0.9772$。
已知X服从正态分布，对于正态分布N(μ,σ^2)(其中μ为均值,σ^2为方差)，有以下两个重要的公式:
1. $E(X)=\mu$;
2. $D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}={\sigma }^{2}$。
已知 E(X)=1，所以可得 $\mu =1$。
又已知 $E({X}^{2})=5$，根据 $D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$，可求出方差σ^2:
${\sigma }^{2}=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$
$=5-{1}^{2}$
=5-1
=4
所以X服从正态分布N(1,4)，则 $0=2$。
步骤 2：将X标准化
若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，令 $z=\dfrac {x-\mu }{\sigma }$，则 $Z\sim N(0,1)$（标准正态分布）。
对于本题，令 $z=\dfrac {X-1}{2}$，我们要求F(5)，即 $P(X\leqslant 5)$，将其转化为标准正态分布的概率:
$P(X\leqslant 5)=P(\dfrac {X-1}{2}\leqslant \dfrac {5-1}{2})$
$=P(z\leqslant \dfrac {4}{2})$
$=P(Z\leqslant 2)$。
步骤 3：查标准正态分布表求概率
$P(Z\leqslant 2)$的值可以通过查标准正态分布表得到。查标准正态分布表可得 $P(Z\leqslant 2)\approx 0.9772$，即 $F(5)\approx 0.9772$。