题目
7 设X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，overline(X)和S^2分别为样本均值和样本方差.若overline(X)+kS^2为np^2的无偏估计量，求k的值.
7 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自二项分布总体$B(n,p)$的简单随机样本，$\overline{X}$和$S^{2}$分别为样本均值和样本方差.若$\overline{X}+kS^{2}$为$np^{2}$的无偏估计量，求k的值.
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自二项分布 $B(n, p)$ 的样本，样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $S^2$ 的期望值分别为：
$$
E(\overline{X}) = np, \quad E(S^2) = np(1-p).
$$
为使 $\overline{X} + kS^2$ 成为 $np^2$ 的无偏估计量，应满足：
$$
E(\overline{X} + kS^2) = np + k \cdot np(1-p) = np^2.
$$
整理得：
$$
np[1 + k(1-p)] = np^2 \implies 1 + k(1-p) = p \implies k(1-p) = p-1.
$$
解得：
$$
k = -1.
$$
**答案：** $\boxed{-1}$