题目
(5) lim _(xarrow 0)((1-3x))^dfrac (1{2x)};
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换为指数形式
首先，我们注意到极限的形式可以转换为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-3x)}^{\dfrac {1}{2x}}$ 可以写成 $e^{\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln(1-3x)}$。这是因为 $a^b = e^{b\ln a}$。
步骤 2：应用洛必达法则
接下来，我们计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln(1-3x)$。由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。
步骤 3：计算导数并求极限
计算导数，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1-3x)}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-3}{1-3x}}{2} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{-3}{2(1-3x)} = \frac{-3}{2}$。因此，原极限等于 $e^{\frac{-3}{2}}$。
首先，我们注意到极限的形式可以转换为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-3x)}^{\dfrac {1}{2x}}$ 可以写成 $e^{\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln(1-3x)}$。这是因为 $a^b = e^{b\ln a}$。
步骤 2：应用洛必达法则
接下来，我们计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln(1-3x)$。由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。
步骤 3：计算导数并求极限
计算导数，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1-3x)}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-3}{1-3x}}{2} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{-3}{2(1-3x)} = \frac{-3}{2}$。因此，原极限等于 $e^{\frac{-3}{2}}$。