题目
设各零件的重量是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？(Phi(sqrt(2))=0.9214)
设各零件的重量是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？($\Phi(\sqrt{2})=0.9214$)
题目解答
答案
设 $ S $ 为5000只零件的总重量，由期望和方差的性质得：
\[ E(S) = 5000 \times 0.5 = 2500 \text{ kg}, \]
\[ \text{Var}(S) = 5000 \times (0.1)^2 = 50, \]
\[ \sigma(S) = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \]
标准化 $ S $：
\[ Z = \frac{S - 2500}{5\sqrt{2}}. \]
求 $ P(S > 2510) $：
\[ P\left(Z > \frac{2510 - 2500}{5\sqrt{2}}\right) = P\left(Z > \sqrt{2}\right) = 1 - \Phi(\sqrt{2}). \]
已知 $ \Phi(\sqrt{2}) = 0.9214 $，则：
\[ P(Z > \sqrt{2}) = 1 - 0.9214 = 0.0786. \]
**答案：** $\boxed{0.0786}$
解析
步骤 1：定义总重量随机变量
设 $ S $ 为5000只零件的总重量，由于各零件的重量是随机变量，且相互独立，服从相同的分布，我们可以利用期望和方差的性质来计算 $ S $ 的期望和方差。
步骤 2：计算总重量的期望和方差
根据期望和方差的性质，我们有： \[ E(S) = 5000 \times 0.5 = 2500 \text{ kg}, \] \[ \text{Var}(S) = 5000 \times (0.1)^2 = 50, \] \[ \sigma(S) = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \]
步骤 3：标准化总重量随机变量
为了计算超过2510kg的概率，我们需要将 $ S $ 标准化为标准正态分布变量 $ Z $： \[ Z = \frac{S - 2500}{5\sqrt{2}}. \]
步骤 4：计算超过2510kg的概率
现在，我们计算 $ P(S > 2510) $： \[ P\left(Z > \frac{2510 - 2500}{5\sqrt{2}}\right) = P\left(Z > \sqrt{2}\right) = 1 - \Phi(\sqrt{2}). \] 已知 $ \Phi(\sqrt{2}) = 0.9214 $，则： \[ P(Z > \sqrt{2}) = 1 - 0.9214 = 0.0786. \]
设 $ S $ 为5000只零件的总重量，由于各零件的重量是随机变量，且相互独立，服从相同的分布，我们可以利用期望和方差的性质来计算 $ S $ 的期望和方差。
步骤 2：计算总重量的期望和方差
根据期望和方差的性质，我们有： \[ E(S) = 5000 \times 0.5 = 2500 \text{ kg}, \] \[ \text{Var}(S) = 5000 \times (0.1)^2 = 50, \] \[ \sigma(S) = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \]
步骤 3：标准化总重量随机变量
为了计算超过2510kg的概率，我们需要将 $ S $ 标准化为标准正态分布变量 $ Z $： \[ Z = \frac{S - 2500}{5\sqrt{2}}. \]
步骤 4：计算超过2510kg的概率
现在，我们计算 $ P(S > 2510) $： \[ P\left(Z > \frac{2510 - 2500}{5\sqrt{2}}\right) = P\left(Z > \sqrt{2}\right) = 1 - \Phi(\sqrt{2}). \] 已知 $ \Phi(\sqrt{2}) = 0.9214 $，则： \[ P(Z > \sqrt{2}) = 1 - 0.9214 = 0.0786. \]