甲、乙两班参加了统一考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360．则甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？

考查要点：本题主要考查加权平均数和合并方差的计算方法，需要综合运用统计学中的基本概念。

解题核心思路：

1. 平均成绩：通过两班的总分之和除以总人数计算，需注意人数不同的权重。
2. 方差计算：需考虑两班内部方差和两班平均分与总平均分的差异，使用分层方差公式，按人数加权求和。

破题关键点：

• 加权平均：正确计算两班总分之和后求平均。
• 方差分解：总方差由各班内部方差和各班平均分与总平均分的平方差共同构成，需分别计算后加权求和。

1. 计算平均成绩

总平均成绩公式为：
$\bar{x} = \frac{n_甲 \cdot \bar{x}_甲 + n_乙 \cdot \bar{x}_乙}{n_甲 + n_乙}$
代入数据：
$\bar{x} = \frac{50 \times 80.5 + 40 \times 85}{50 + 40} = \frac{4025 + 3400}{90} = \frac{7425}{90} = 82.5$

2. 计算合并方差

合并方差公式为：
$s^2 = \frac{n_甲 \left[ s_甲^2 + (\bar{x}_甲 - \bar{x})^2 \right] + n_乙 \left[ s_乙^2 + (\bar{x}_乙 - \bar{x})^2 \right]}{n_甲 + n_乙}$
分步计算：

1. 甲班部分：

   • 方差项：$500$
   • 平均差平方：$(80.5 - 82.5)^2 = (-2)^2 = 4$
   • 总贡献：$50 \times (500 + 4) = 50 \times 504 = 25200$

2. 乙班部分：

   • 方差项：$360$
   • 平均差平方：$(85 - 82.5)^2 = 2.5^2 = 6.25$
   • 总贡献：$40 \times (360 + 6.25) = 40 \times 366.25 = 14650$

3. 合并方差：
   $s^2 = \frac{25200 + 14650}{90} = \frac{39850}{90} \approx 442.8$