题目
已知随机变量(X，Y)服从二维正态分布，并且X和Y分别服从正态分布N(1,9)和N(0，16)的相关系数，X和Y的相关系数rho xy=-dfrac (1)(2). 设 =dfrac (1)(3)X+dfrac (1)(2)Y 求X和Z的相关系数ρxz.
已知随机变量(X，Y)服从二维正态分布，并且X和Y分别服从正态分布N(1,9)和N(0，16)的相关系数，X和Y的相关系数
题目解答
答案
参考答案：
解析
步骤 1：计算协方差Cov(X, Z)
根据协方差的性质，我们有：
$$
\text{Cov}(X, Z) = \text{Cov}\left(X, \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y\right)
$$
利用协方差的线性性质，可以将其分解为：
$$
\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3}\text{Cov}(X, X) + \frac{1}{2}\text{Cov}(X, Y)
$$
步骤 2：计算Cov(X, X)和Cov(X, Y)
由于Cov(X, X)就是X的方差D(X)，而Cov(X, Y)可以通过相关系数ρxy和标准差计算得到：
$$
\text{Cov}(X, X) = D(X) = 9
$$
$$
\text{Cov}(X, Y) = \rho_{xy} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = -\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = -6
$$
步骤 3：计算Cov(X, Z)
将步骤2的结果代入步骤1的公式中，得到：
$$
\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3} \times 9 + \frac{1}{2} \times (-6) = 3 - 3 = 0
$$
步骤 4：计算相关系数ρxz
由于Cov(X, Z) = 0，根据相关系数的定义，我们有：
$$
\rho_{xz} = \frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}}
$$
由于Cov(X, Z) = 0，所以ρxz = 0。
根据协方差的性质，我们有：
$$
\text{Cov}(X, Z) = \text{Cov}\left(X, \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y\right)
$$
利用协方差的线性性质，可以将其分解为：
$$
\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3}\text{Cov}(X, X) + \frac{1}{2}\text{Cov}(X, Y)
$$
步骤 2：计算Cov(X, X)和Cov(X, Y)
由于Cov(X, X)就是X的方差D(X)，而Cov(X, Y)可以通过相关系数ρxy和标准差计算得到：
$$
\text{Cov}(X, X) = D(X) = 9
$$
$$
\text{Cov}(X, Y) = \rho_{xy} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = -\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = -6
$$
步骤 3：计算Cov(X, Z)
将步骤2的结果代入步骤1的公式中，得到：
$$
\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3} \times 9 + \frac{1}{2} \times (-6) = 3 - 3 = 0
$$
步骤 4：计算相关系数ρxz
由于Cov(X, Z) = 0，根据相关系数的定义，我们有：
$$
\rho_{xz} = \frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}}
$$
由于Cov(X, Z) = 0，所以ρxz = 0。