5、随机变量X1,X 2独立同服于N(0,1),其分布函数和密度函数分别为①(x),φ(x),则-|||-max(X1,X2)的概率密度为: ()-|||-(A) ϕ^2(x); (B)2ϕ(x)φ(x); (C) ϕ(x)φ(x); (D)2ϕ(x).

考查要点：本题主要考查独立随机变量最大值的分布函数及概率密度求解方法，需要掌握分布函数法和导数运算。

解题核心思路：

1. 最大值的分布函数：利用事件“max(X₁,X₂) ≤ x”等价于“X₁ ≤ x且X₂ ≤ x”，结合独立性写出分布函数。
2. 求导得密度函数：对分布函数求导，应用链式法则，得到最终的密度表达式。

破题关键点：

• 独立性保证联合概率可分解为乘积形式。
• 分布函数与密度函数的关系：密度函数是分布函数的导数。

分布函数推导

设随机变量Y = max(X₁, X₂)，其分布函数为：
$F_Y(x) = P(Y \leq x) = P(X₁ \leq x \text{ 且 } X₂ \leq x).$
由于X₁和X₂独立同分布，有：
$F_Y(x) = P(X₁ \leq x) \cdot P(X₂ \leq x) = [\Phi(x)]^2.$

密度函数求导

对分布函数求导得密度函数：
$f_Y(x) = \frac{d}{dx} F_Y(x) = \frac{d}{dx} [\Phi(x)]^2 = 2\Phi(x) \cdot \phi(x).$
其中，第二步应用了链式法则，导数为外函数平方的导数乘以内函数Φ(x)的导数φ(x)。

选项分析

• 选项B：$2\Phi(x)\phi(x)$，与推导结果一致。
• 其余选项均不符合导数结果。