设随机变量X sim N(mu, sigma^2)，其分布函数为F(x)，则对任意的x，有__________。A. F(x+mu)+ F(x-mu)= 1B. F(x+mu)- F(x-mu)= 0C. F(mu+x)+ F(mu-x)= 1D. F(mu+x)- F(mu-x)= 0

本题考查正态分布的性质以及分布函数的概念。解题的关键在于利用正态分布的对称性，结合分布函数的定义来推导各个选项的正确性。

正态分布的性质

若随机变量$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则其概率密度函数$f(x)$关于直线$x = \mu$对称，即$f(\mu + x) = f(\mu - x)$。

分布函数的定义

随机变量$X$的分布函数$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$。

对各选项的分析

• 选项A：
  $F(x+\mu)=\int_{-\infty}^{x+\mu}f(t)dt$，$F(x - \mu)=\int_{-\infty}^{x - \mu}f(t)dt$。
  $F(x+\mu)+ F(x - \mu)=\int_{-\infty}^{x+\mu}f(t)dt+\int_{-\infty}^{x - \mu}f(t)dt$，一般情况下$\int_{-\infty}^{x+\mu}f(t)dt+\int_{-\infty}^{x - \mu}f(t)dt\neq1$，所以选项A错误。
• 选项B：
  $F(x+\mu)- F(x - \mu)=\int_{-\infty}^{x+\mu}f(t)dt-\int_{-\infty}^{x - \mu}f(t)dt=\int_{x - \mu}^{x+\mu}f(t)dt$，一般情况下$\int_{x - \mu}^{x+\mu}f(t)dt\neq0$，所以选项B错误。
• 选项C：
  $F(\mu + x)=\int_{-\infty}^{\mu + x}f(t)dt$，令$u=t-\mu$，则$t = u + \mu$，$dt = du$。
  当$t = -\infty$时，$u = -\infty$；当$t = \mu + x$时，$u = x$。
  所以$F(\mu + x)=\int_{-\infty}^{x}f(u + \mu)du$。
  因为$f(\mu + u) = f(\mu - u)$，所以$F(\mu + x)=\int_{-\infty}^{x}f(\mu - u)du$。
  $F(\mu - x)=\int_{-\infty}^{\mu - x}f(t)dt$，令$v=t-\mu$，则$t = v + \mu$，$dt = dv$。
  当$t = -\infty$时，$v = -\infty$；当$t = \mu - x$时，$v = -x$。
  所以$F(\mu - x)=\int_{-\infty}^{-x}f(v + \mu)dv=\int_{-\infty}^{-x}f(\mu - v)dv$。
  $F(\mu + x)+ F(\mu - x)=\int_{-\infty}^{x}f(\mu - u)du+\int_{-\infty}^{-x}f(\mu - v)dv$。
  令$w=-v$，则$dv=-dw$。
  当$v = -\infty$时，$w = \infty$；当$v = -x\\)时，\(w = x$。
  $\int_{-\infty}^{-x}f(\mu - v)dv=\int_{\infty}^{x}f(\mu + w)(-dw)=\int_{x}^{\infty}f(\mu + w)dw$。
  又因为$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt = 1$，所以$F(\mu + x)+ F(\mu - x)=\int_{-\infty}^{x}f(\mu - u)du+\int_{x}^{\infty}f(\mu + w)dw = 1$，选项C正确。
• 选项D：
  由选项C的分析可知$F(\mu + x)- F(\mu - x)=\int_{-\infty}^{x}f(\mu - u)du-\int_{-\infty}^{-x}f(\mu - v)dv\neq0$，所以选项D错误。