题目
A, B 均 n 阶为方阵,下面等式成立的是()A. AB = BAB. (A+B)^T = A^T + B^TC. (A+B)^-1 = A^-1 + B^-1D. (AB)^-1 = A^-1B^-1
$A, B$ 均 $n$ 阶为方阵,下面等式成立的是()
A. $AB = BA$
B. $(A+B)^T = A^T + B^T$
C. $(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$
D. $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$
题目解答
答案
B. $(A+B)^T = A^T + B^T$
解析
步骤 1：分析选项A
$AB = BA$ 表示矩阵乘法的可交换性。然而，矩阵乘法一般不是可交换的，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。因此，这个等式不成立。
步骤 2：分析选项B
$(A+B)^T = A^T + B^T$ 表示矩阵和的转置等于它们的转置之和。这是转置的一个基本性质，对于任何矩阵 $A$ 和 $B$，这个等式总是成立的。
步骤 3：分析选项C
$(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ 表示矩阵和的逆等于它们的逆之和。然而，矩阵和的逆不等于它们的逆之和。因此，这个等式不成立。
步骤 4：分析选项D
$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ 表示矩阵乘积的逆等于它们的逆之积。然而，矩阵乘积的逆是它们的逆以相反顺序的乘积，即 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。因此，这个等式不成立。
$AB = BA$ 表示矩阵乘法的可交换性。然而，矩阵乘法一般不是可交换的，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。因此，这个等式不成立。
步骤 2：分析选项B
$(A+B)^T = A^T + B^T$ 表示矩阵和的转置等于它们的转置之和。这是转置的一个基本性质，对于任何矩阵 $A$ 和 $B$，这个等式总是成立的。
步骤 3：分析选项C
$(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ 表示矩阵和的逆等于它们的逆之和。然而，矩阵和的逆不等于它们的逆之和。因此，这个等式不成立。
步骤 4：分析选项D
$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ 表示矩阵乘积的逆等于它们的逆之积。然而，矩阵乘积的逆是它们的逆以相反顺序的乘积，即 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。因此，这个等式不成立。