题目
设随机变量的概率分布为下表所示，求（1）E（-X+1）； X -2 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 （2）E（2X2+5）． X -2 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 -X+1 3 1 0 -1 2X2+5
设随机变量的概率分布为下表所示，求
（1）E（-X+1）；
（2）E（2X2+5）．
（1）E（-X+1）；
| X | -2 | 0 | 1 | 2 |
| P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
| X | -2 | 0 | 1 | 2 |
| P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
| -X+1 | 3 | 1 | 0 | -1 |
| 2X2+5 |
题目解答
答案
解：（1）由表中数据可知X=-2，0，1，2，
所以-X+1=3，1，0，-1，
所以P（-X+1=3）=P（X=-2）=0.2，
P（-X+1=1）=P（X=0）=0.3，
P（-X+1=0）=P（X=1）=0.4，
P（-X+1=-1）=P（X=2）=0.1，
所以E（-X+1）=3×0.2+1×0.3+0×0.4+（-1）×0.1=0.8；
（2）因为X=-2，0，1，2，
所以2X2+5=13，5，7，
P（2X2+5=13）=P（X=-2）+P（X=2）=0.2+0.1=0.3，
P（2X2+5=5）=P（X=0）=0.3，
P（2X2+5=7）=P（X=1）=0.4，
所以E（2X2+5）=13×0.3+5×0.3+7×0.4=8.2．
所以-X+1=3，1，0，-1，
所以P（-X+1=3）=P（X=-2）=0.2，
P（-X+1=1）=P（X=0）=0.3，
P（-X+1=0）=P（X=1）=0.4，
P（-X+1=-1）=P（X=2）=0.1，
所以E（-X+1）=3×0.2+1×0.3+0×0.4+（-1）×0.1=0.8；
（2）因为X=-2，0，1，2，
所以2X2+5=13，5，7，
P（2X2+5=13）=P（X=-2）+P（X=2）=0.2+0.1=0.3，
P（2X2+5=5）=P（X=0）=0.3，
P（2X2+5=7）=P（X=1）=0.4，
所以E（2X2+5）=13×0.3+5×0.3+7×0.4=8.2．
解析
考查要点：本题主要考查期望值的计算，涉及随机变量函数的期望求解，需要掌握期望的线性性质和随机变量函数的期望计算方法。
解题思路：
- 第一问：直接根据随机变量$-X+1$的取值及其对应概率，利用期望的定义式计算。
- 第二问：通过计算$2X^2+5$的取值及其对应概率，或利用期望的线性性质结合$E(X^2)$求解。
关键点：
- 随机变量函数的取值与原变量的对应关系。
- 概率的正确对应与合并（如$X=-2$和$X=2$时，$2X^2+5$的取值相同）。
第（1）题
确定$-X+1$的取值与概率
当$X$取$-2,0,1,2$时，$-X+1$的取值分别为$3,1,0,-1$，对应概率与$X$的概率相同：
- $P(-X+1=3)=0.2$
- $P(-X+1=1)=0.3$
- $P(-X+1=0)=0.4$
- $P(-X+1=-1)=0.1$
计算期望
$E(-X+1) = 3 \times 0.2 + 1 \times 0.3 + 0 \times 0.4 + (-1) \times 0.1 = 0.6 + 0.3 - 0.1 = 0.8$
第（2）题
确定$2X^2+5$的取值与概率
当$X$取$-2,0,1,2$时，$2X^2+5$的取值分别为：
- $X=-2$或$X=2$时，$2X^2+5=13$，概率为$0.2+0.1=0.3$
- $X=0$时，$2X^2+5=5$，概率为$0.3$
- $X=1$时，$2X^2+5=7$，概率为$0.4$
计算期望
$E(2X^2+5) = 13 \times 0.3 + 5 \times 0.3 + 7 \times 0.4 = 3.9 + 1.5 + 2.8 = 8.2$