2.int_(pi)^5pi(1+sin^3x)cos^2xdx=

本题主要考查定积分的计算，解题思路是将原积分拆分成两个部分分别进行计算，再将两部分的结果相加。

第一部分：计算$\int_{\pi}^{5\pi} \cos^2 x \, dx$

• 首先，利用三角函数的二倍角公式$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$对被积函数进行化简：
  $\int_{\pi}^{5\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{\pi}^{5\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$
• 然后，根据定积分的性质$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，将上式拆分为两个积分：
  $\int_{\pi}^{5\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx=\frac{1}{2}\int_{\pi}^{5\pi} 1 \, dx + \frac{1}{2}\int_{\pi}^{5\pi} \cos 2x \, dx$
• 对于$\frac{1}{2}\int_{\pi}^{5\pi} 1 \, dx$，根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}1dx=b - a$，可得：
  $\frac{1}{2}\int_{\pi}^{5\pi} 1 \, dx=\frac{1}{2}(5\pi - \pi)=2\pi$
• 对于$\frac{1}{2}\int_{\pi}^{5\pi} \cos 2x \, dx$，令$t = 2x$，则$dt = 2dx$，当$x = \pi$时，$t = 2\pi$；当$x = 5\pi$时，$t = 10\pi$，那么$\frac{1}{2}\int_{\pi}^{5\pi} \cos 2x \, dx=\frac{1}{4}\int_{2\pi}^{10\pi} \cos t \, dt$。
  根据$\int\cos tdt=\sin t+C$，可得$\frac{1}{4}\int_{2\pi}^{10\pi} \cos t \, dt=\frac{1}{4}[\sin t]_{2\pi}^{10\pi}=\frac{1}{4}(\sin 10\pi - \sin 2\pi)=0$。
• 所以$\int_{\pi}^{5\pi} \cos^2 x \, dx = 2\pi + 0 = 2\pi$。

第二部分：计算$\int_{\pi}^{5\pi} \sin^3 x \cos^2 x \, dx$

• 先将$\sin^3 x$变形为$\sin x(1 - \cos^2 x)$，则原积分变为：
  $\int_{\pi}^{5\pi} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \int_{\pi}^{5\pi} \sin x (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \, dx$
• 令$u = \cos x$，则$du = -\sin x \, dx$。当$x = \pi$时，$u = \cos \pi = -1$；当$x = 5\pi$时，$u = \cos 5\pi = -1$。
  此时原积分变为$\int_{-1}^{-1} -(1 - u^2) u^2 \, du$。
• 根据定积分的性质，若积分上限和下限相等，则定积分的值为$0$，所以$\int_{-1}^{-1} -(1 - u^2) u^2 \, du = 0$。

最后，将两部分结果相加

$\int_{\pi}^{5\pi} (1 + \sin^3 x) \cos^2 x \, dx = \int_{\pi}^{5\pi} \cos^2 x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = 2\pi + 0 = 2\pi$